A regra e o compás na xeometría clásica

Antes de comezarmos a realizar construcións, imos deixar constancia de cales son as ferramentas das que dispoñemos. Na xeometría clásica enténdese por construción con regra e compás o trazado de puntos, segmentos de recta e circunferencias usando exclusivamente unha regra e un compás idealizados.

• Á regla supónselle unha lonxitude infinita, e carece de marcas que permitan realizar medicións. Ademais podemos pensar nela como unha regra dun só bordo, pois permítenos debuxar, por exemplo, rectas paralelas. Así, serve para trazar unha recta entre dous puntos prefixados ou ben para prolongar tanto como se desexe unha recta xa existente.
• O compás permite trazar circunferencias de calquera raio, pero só pode abrirse entre puntos que fosen previamente construídos, así que en realidade a súa única función é trazar unha circunferencia, ou una parte dela, cun centro predeterminado e un raio tamén determinado por un punto prefixado. Ademais, suponse que se pecha cando se separa do papel, de xeito que non ten memoria senón que "esquece" cal era a medida utilizada e non permite repetila.

Tendo en conta estas consideracións, resulta que para realizar construcións con regra e compás limitarémonos a aplicar as cinco construcións básicas, podendo usar en cada unha destas os puntos, rectas e/ou circunferencias creadas en pasos anteriores. Esas construcións posibles son:

1. Crear un segmento de recta que une dous puntos xa existentes, ou alongar un xa construído.
2. Crear unha circunferencia con centro nun punto dado e que pasa por outro punto dado.
3. Crear un punto no cal se intersecan dúas rectas non paralelas.
4. Crear un punto ou dous nos cales se intersecan unha recta e unha circunferencia.
5. Crear un punto ou dous nos cales se intersecan dúas circunferencias.

Neste blog sempre presentamos as construcións mediante applets de Geogebra (motivo polo cal debes ter actualizada a versión de Java). En dito programa as cinco construcións posibles que acabamos de citar resúmense en que só podemos utilizar as ferramentas Segmento, Recta pasando por dous puntos e Circunferencia con centro dado e pasando por un punto. Ben, en realidade e grazas ao explicado nesta entrada tamén nos permitiremos, nalguhna que outra ocasión, utilizar a ferramenta Circunferencia con centro e raio dados, pero debemos ter presente que a construción clásica inclúe, cada vez que a usamos, todos os pasos que explicamos en dita entrada. Simplemente, darémolos por suposto en prol dunha mellor comprensión das construcións.

Nota: se ben a gran maioría das construcións presentadas no blog seguen estas normas básicas, nalgunha que outra permitímonos "saltar" a suposición de que o compás se pecha cando se separa do papel, pero tal circunstancia dáse en poucas ocasións.

Fonte: Wikimedia Commons.