Polígonos regulares construíbles con regra marcada

Neste mesmo blog xa falamos no seu día de cales son os polígonos regulares construíbles coas normas clásicas da regra e o compás. Recordemos o resultado ao respecto, que debemos a Gauss e a Pierre Wantzel:

 

Un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas da regra e o
compás se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k$$

, sendo r un enteiro non negativo e os factores $p_i$ primos de Fermat distintos entre si.

 

A día de hoxe, os únicos primos de Fermat coñecidos son 3, 5, 17, 257 e 65537. E recordemos que un primo de Fermat é un número primo da forma ${2}^{{2}^{n}}+1$. Son construíbles, pois, os polígonos regulares de 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17... lados.

Ultimamente dedicamos varias entradas a construcións realizadas cunha regra marcada, que é simplemente unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Dese xeito é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.

 

Resulta natural preguntarse que sucede con esta nova condición. Son todos os polígonos regulares construíbles se permitimos o uso da regra marcada? Acudimos ao teorema de Pierpont, que di:

 

Un polígono regular de n lados é construíble coa regra marcada se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k$$

, sendo a, b enteiros non negativos e os factores $p_i$ primos de Pierpont distintos entre si.

 

As similitudes co resultado de Gauss-Wantzel e cos primos de Fermat son claras, e os primos de Pierpont son da forma $2^k\cdot 3^l+1$, constituíndo a sucesión 2, 3, 5, 7, 13, 17...

En consecuencia, polígonos regulares que non son construíbles coas normas clásicas da regra e o compás si o son coa regra marcada (algún xa pasou por este blog, de feito), coma os que teñen 7, 9, 13, 14, 18, 19... lados.

 

Isto deixa o endecágono, de 11 lados, como o polígono regular con menos lados que non aparece nin nunha listaxe nin na outra. Non é nin múltiplo de 2, nin de 3, nin un primo de Pierpont, e por tanto non sería construíble coa regra marcada.

Porén, no ano 2014 Elliot Benjamin e Chip Snyder demostraron a existencia dunha construción para o endecágono empregando a regra marcada e o compás. Segundo entendo, a chave do asunto reside en que o resultado de Pierpont asume que a regra marcada permite obter puntos como intersección de dúas rectas. Por outra banda, nas normas clásicas da regra e o compás permítese a intersección entre dúas rectas, unha recta e unha circunferencia ou ben dúas circunferencias, así que Benjamin e Snyder para a súa demostración optaron por permitir os casos de dúas rectas e mais dunha recta e unha circunferencia, usando para iso o termo regra marcada restrinxida. A diferenza está, pois, nas hipóteses de partida.

Relacionado con isto:

• On an undemostrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticae, por James Pierpont.
• Geometric constructions, por George E. Martin. 
• Angle trisection, the heptagon and the triskaidecagon, por Andrew M. Gleason. 
• On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass, por Elliot Benjamin e Chip Snyder.
  
• Polígonos regulares construíbles con regra e compás. 
• Heptágono regular con regra marcada (I). 
• Heptágono regular con regra marcada (II). 
• Eneágono regular con regra marcada.
  

Heptágono regular con regra marcada (II)

Tras un primeiro achegamento á construción do heptágono regular cunha regra marcada, nesta entrada retomamos o mesmo tema pero cambiamos de método. Se entón mostrabamos o de Crockett Johnson, hoxe traemos o de François Viète, publicado en 1593 no seu Supplementum Geometriae.

Accede á aplicación GeoGebra

Como observacións de interese, resulta que $OF=\frac{OB}{3}$, e sobre todo que o uso da regra marcada (no paso 11) é exactamente o método de Arquímedes para a obtención da trisección dun ángulo, con $\angle BHD=\frac{\angle BFD}{3}$.

Relacionado con isto:

• Heptágono regular con regra marcada (I).
• Heptágono aproximado nun círculo (I). 
• Heptágono aproximado nun círculo (II).
• Trisección dun ángulo con regra marcada (I).
  
• Suplementum Geometriae, por François Viète. 
• Tales of Impossibility, por David S. Richeson, páxinas 154-156. 
  

Heptágono regular con regra marcada (I)

Xa temos explicado aquí cales de entre os polígonos regulares son construíbles con regra e compás e cales non. Basicamente, un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas se e só se n pode descompoñerse da forma $n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k $, onde $r>0$ e os factores $p_t$ son primos de Fermat distintos entre si.

Ese resultado que debemos a Gauss e a Pierre Wantzel asegura que, por exemplo, até n = 10  son construíbles todos os polígonos regulares agás o heptágono (n = 7) e o eneágono (n = 9).

Porén, se ampiamos as restricións permitidas si podemos realizar construcións que doutro xeito non somos capaces. É o caso da regra marcada, que xa vimos mostrando nas últimas entradas. Pois ben, esta técnica posibilita a obtención do heptágono regular partindo dun lado dado.

Accede á aplicación GeoGebra

Esta construción debémoslla a Crockett Johnson, quen a publicou en 1975. Johnson non tivo unha formación formal en matemáticas, era máis ben un ilustrador, pero si tiña certa fascinación con esa ciencia, e acabou por crear máis de 100 cadros inspirados nas matemáticas.

Aquí pode verse a demostración de que o ángulo $\angle AIB$ mide $\frac{\pi}{7}$, que é a metade do ángulo central do heptágono regular. O uso da regra marcada aparece no paso 11, onde $HI$ se constrúe apoiando a regra no punto $A$ e con igual lonxitude que $AB$.

Relacionado con isto:

• A Construction for a Regular Heptagon, por Crockett Johnson.
• O heptágono regular, en Wolfram MathWorld.
• Heptágono aproximado sobre un lado dado.
• Tales of Impossibility, por David S. Richeson, páxinas 157-159.
  

Heptágono aproximado sobre un lado dado

Pierre Wantzel demostrou a imposibilidade de construír algúns problemas xeométricos clásicos usando a regra e o compás. Entre eles, a construción dun polígono regular tal que o número de lados non sexa produto dunha potencia de dous e calquera número de Fermat (a existencia destes estaba probada con anterioridade por Gauss).

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ foi usada como aproximación para o lado dun heptágono regular inscrito nun círculo unidade, cun ángulo central de 51,318...º no canto dos 51,428571...º do heptágono regular. É unha aproximación xa empregada por Herón de Alejandría en A Metrica e por Abu'l-Wafa no seu tratado para artesáns.

Accede á aplicación GeoGebra

Heptágono aproximado nun círculo (II)

Pierre Wantzel demostrou a imposibilidade de construír algúns problemas xeométricos clásicos usando a regra e o compás. Entre eles, a construción dun polígono regular tal que o número de lados non sexa produto dunha potencia de dous e calquera número de Fermat (a existencia destes estaba probada con anterioridade por Gauss).

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ foi usada como aproximación para o lado dun heptágono regular inscrito nun círculo unidade, cun ángulo central de 51,318...º no canto dos 51,428571...º do heptágono regular. É unha aproximación xa empregada por Herón de Alejandría en A Metrica e por Abu'l-Wafa no seu tratado para artesáns.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Heptágono aproximado nun círculo.

Heptágono aproximado nun círculo (I)

Pierre Wantzel demostrou a imposibilidade de construír algúns problemas xeométricos clásicos usando a regra e o compás. Entre eles, a construción dun polígono regular tal que o número de lados non sexa produto dunha potencia de dous e calquera número de Fermat (a existencia destes estaba probada con anterioridade por Gauss).

Esta construción, que debemos a John Michell, define un lado para un heptágono regular cun ángulo central de 51,444...º no canto dos 51,428571...º do heptágono regular.

Accede á aplicación GeoGebra