Hai pouco recibín un correo electrónico dun lector (habelos hainos) que me achegaba esta referencia, unha interesante construción exposta por Xerardo Neira.
Este blog está centrado nas construcións elaboradas coas normas clásicas da regra e o compás, mentres que esoutra construción precisa dunha regra marcada. Porén, non me puiden resistir e velaquí está.
Unha regra marcada é, simplemente, unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Con isto é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.
Na construción que achegamos nesta entrada pártese dunha circunferencia unidade (de raio 1), e obtense o segmento $AC$, ao que imos chamar $t$. O uso da regra marcada chega no paso 11 da construción, ao apoiala sobre a circunferencia como unha tanxente, de tal xeito que as súas dúas marcas queden unha sobre a recta que pasa por $A$ e $B$ e a outra sobre a tanxente que pasa por $B$. É así como aparecen os puntos $C,D,E$ tales que xacen sobre unha tanxente á circunferencia e que $DC=1$.
Mediante o triángulo $AEC$ obtense:
$$\sin(\angle ACE)=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{t}$$
E mediante o triángulo $DBC$ obtense:
$$\cos(\angle BCD)=\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{1-t}{1}=1-t$$
Como $\angle ACE$ e $\angle BCD$ son o mesmo ángulo, a identidade fundamental da trigonometría leva a:
$$\left(\dfrac{1}{t} \right)^2 + (1-t)^2=1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{t^2}+1-2t+t^2=1 \quad \Rightarrow \quad t^4-2t^3+1=0$$
O polinomio anterior pode factorizarse, e a ecuación queda $(t-1)\cdot (t^3-t^2-t-1)=0$. Esta ecuación ten dúas solucións reais, unha é $t=1$ que corresponde co caso no cal $C=B$, e a outra dada por $t^3-t^2-t-1=0$ é aproximadamente $1,839\dots$
Este último valor é coñecido polo nome de constante de tribonacci; é o límite ao que tenden as razóns de números consecutivos de tribonacci. E que son os números de tribonacci? Pois son os que constitúen a sucesión que comeza polos termos fixos 0, 0, 1 e a partir de aí constrúe o resto de termos mediante a suma dos tres precedentes.
$$0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149\dots$$
É doado decatarse de que esta é, dalgún xeito, unha xeralización dos números do Fibonacci, pois as similitudes entre ambas as sucesións son evidentes, así coma entre a constante de tribonacci e o número áureo.
Relacionado con isto:
- A geometric construction of the tribonacci constant with marked ruler and compass, por Xerardo Neira.
- A sucesión de tribonacci, na OEIS.
- A constante de tribonacci, en WolframMathWorld.
- A sucesión de Fibonacci.
- O número áureo.
- A regra e o compás na xeometría clásica.
