Triángulo isóscele dadas a altura e a suma de dous lados

Lendo o último número (volume 25, número 2, 2022) de La Gaceta da Real Sociedad Matemática Española, atopo unha construción con regra e compás que me apetece elaborar e compartir. Xa noutra ocasión La Gaceta me servira de inspiración.

Nesta ocasión, a regra e o compás aparecen nun artigo de Edgar Labarga Varona sobre a escola de análise armónica da Universidade de Chicago, onde no s. XX destacaron enormemente Antoni S. Zygmund e Alberto P. Calderón.

Labarga cita ao propio Calderón para expoñer unha anécdota de cando este estaba no internado suizo Montana Knabeninstitut: <<Habiendo yo recién ingresado al ciclo secundario, tenía entonces un poco más de doce años de edad, cometí, en cierta oportunidad, una travesura en presencia de mi profesor de matemática. Este se acercó y me anunció que sería sometido a una medida disciplinaria por razón de mi conducta. Luego se alejó, pero a poco volvió sobre sus pasos y acercándose nuevamente dijo: "Oye, te voy a dar un problema de geometría. Si eres capaz de resolverlo tu conducta será perdonada.">>.

O problema era o seguinte: construír con regra e compás un triángulo isóscele do cal se coñece a altura e mais a suma da base e un dos lados restantes.

A chave da construción está en comezar cunha base $A'B'$ de medida a suma dada, xa que o triángulo $A'B'C$, tamén isóscele, ten a mesma altura que o triángulo buscado $ABC$. E despois hai que determinar o vértice $A$, que xace sobre o segmento $A'B'$ de tal xeito que a súa distancia a $C$ sexa o dobre da súa distancia a $A'$.

Na demostración xoga un papel destacado o teorema da bisectriz, que asegura que nun triángulo, a razón entre dous lados é igual á razón das partes nas cales qeuda dividio o terceiro lado pola bisectriz do ángulo oposto. É un resultado interesante, xa que se pode aplicar tanto coa bisectriz interior coma coa bisectriz exterior.

 Accede á aplicación GeoGebra 

Relacionado con isto:

• La Gaceta da Real Sociedad Matemática Española.
• Reflexiones sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, por Alberto P. Calderón na revista Números, 1998.
• Revista de Educación Matemática da UMA e a UNC, volume 4, número 3, 1989.

Tres círculos tanxentes nun triángulo isóscele

Esta construción é certamente complicada, pero aplícase a calquera situación axustada aos seus puntos de partida.

Por exemplo, para inscribir perfectamente 22 círculos nun heptágono regular une os seus vértices ao centro e usa esta construción en cada un dos triángulos isóscele formados, encontrando así 21 círculos. Engade outro círculo central e aí están os 22 círculos tanxentes.

Accede á aplicación GeoGebra

Semicírculo nun triángulo isóscele

Por primeira vez nesta páxina imos construír un semicírculo. Fíxate que os dous círculos trazados no primeiro paso deben ter o mesmo raio arbitrario. E aínda que en principio vale calquera raio, debes ter coidado de que posteriormente os puntos J, K e F, G non caian moi xuntos, pois iso podería complicar a construción. 

Accede á aplicación GeoGebra

Triángulo isóscele dados o lado e o ángulo da base

Máis construcións de triángulos. Imos construír un que sexa isóscele, partindo do ángulo e do lado da base. Como é un triángulo isóscele, a figura terá dous ángulos e dous lados con esa mesma medida.

Previamente ao inicio en si da construción, o primeiro paso consiste en establecer a recta sobre a que debuxaremos a base do triángulo.

Accede á aplicación GeoGebra