Cadrado tal que a súa área aproxima a de un círculo

Lendo o último número (volume 23, número 2, 2020) de La Gaceta da Real Sociedad Matemática Española, atopo unha construción con regra e compás nin máis nin menos que na portada.

Trátase dun dos primeiros artigos de Srinivasa Ramanujan, no cal constrúe con regra e compás o lado dun cadrado tal que a súa área aproxima a do círculo inicial. Na seguinte imaxe pode verse o debuxo que el trazou a man, que serve como guía para a construción.

A continuación presentamos a construción por pasos elaborada con GeoGebra. É unha das máis longas que temos compartido neste blog, pois require uns cantos pasos intermedios coma o trazado dunha perpendicular ou varias paralelas. De feito, en aras dunha maior simplicidade, permitinme "saltar" pasos en varias ocasións, pero en todas elas están debidamente aclarados e referenciados.

Accede á aplicación GeoGebra

Así, resulta que o lado do cadrado obtido cumpre que $RD^2 = \dfrac{355}{113}\cdot \dfrac{d^2}{4}\sim \pi r^2$. Podes ver os cálculos que permiten chegar a esa conclusión nalgún dos enlaces seguintes.

Relacionado con isto:

• A portada do volume 23, número 2 (2020) de La Gaceta da RSME.
• Recompilación da obra de Srinivasa Ramanujan. 
• Srinivasa Ramanujan (1913). Squaring the circle. Journal of the Indian Mathematical Society 5, 132.