Sen ningunha dúbida, Gaussianos é un dos referentes en España no tocante a matemáticas e divulgación en InternetM declárome seguidor dende hai anos deste blog de Miguel Ángel Morales. Xa ten dedicado á regra e o compás algunha que outra entrada, e hai pouco publicou unha para compartir un método de aproximación do número 𝜋.
Trátase do método de Kochanski, atribuído ao matemático do século XVII Adam Adamany Kochanski. Partindo dunha circunferencia cun raio dado (sen perda de xeralidade pode supoñerse o raio unidade), permite obter un segmento cunha lonxitude que é case 𝜋 veces máis grande; coincide até o cuarto decimal, 3,141533.
Tras ler a entrada de Gaussianos non puiden resistirme a elaborar a miña propia versión da construción, claro está. Comezando cunha circunferencia de centro $A$ e raio $AB$, chégase a un triángulo rectángulo $BCL$ (é rectángulo por construción, xa que o lado $BL$ é construído pasando polo punto $B$ como a perpendicular á recta que pasa por $A$ e $B$).
$$ CL^2 = BC^2 + BL^2 \quad \Rightarrow \quad CL^2 = BC^2 + (3-FB)^2 $$
Aínda que no paso 30 xa se constrúe o segmento buscado, a partir do 32 áchanse algúns elementos máis que permiten demostrar cal é a súa lonxitude. O triángulo $AHN$ (paso 39) é equilátero con lado o raio unidade inicial, xa que por estar o lado $AH$ sobre a recta $AE$ o ángulo $\angle BAH$ é de 30º. Así:
$$ AM=\sqrt{1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$
Por semellanza entre os triángulos $ABF$ e $AMH$:
$$ \dfrac{FB}{HM}=\dfrac{AB}{AM} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{FB}{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \quad \Rightarrow \quad FB = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $$
E por tanto:
$$ CL = \sqrt{2^2+\left( 3-FB \right)^2} = \sqrt{4+\left( 3 - \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2} = \sqrt{\dfrac{40-6\sqrt{3}}{3}} \simeq 3,141533\dots $$
