Trisección dun ángulo con regra marcada (II)

Na última entrada publicamos unha maneira de trisecar un ángulo dado, empregando para iso unha regra marcada. Porén, dita construción ten unha desvantaxe que a fai pouco visual: a trisección non aparece no mesmo lugar que o ángulo dado, senón desprazada. Por este motivo, hoxe compartimos outra maneira de obter a trisección, agora si in situ.

Este procedemento débese a John Conway, tristemente falecido hai uns meses, un dos matemáticos de maior relevancia do século XX.

Accede á aplicación GeoGebra

O uso da regra marcada aparece no paso 6, cando se apoia a regra sobre o punto $O$ e se coloca de xeito que a distancia entre os puntos $C$ e $D$ que aparecen coincide coa distancia entre $O$ e $A$.

Temos pois que os segmentos $OA,OB,CD,BD$ son todos da mesma medida, e por tanto os triángulos $OBA,BDO,DCB$ son os tres isóscele.

Como $BDO$ é un triángulo isóscele

$$\angle BOD + \angle ODB + \angle DBO = \pi \quad \Rightarrow \quad \angle BOD + \angle BOD + \angle DBO = \pi$$

, e dividimos o ángulo $\angle DBO$ en dúas partes

$$2\cdot \angle BOD + (\angle CBO + \angle DBC) = \pi $$

, como $DCB$ é isóscele

$$2\cdot \angle BOD + \angle CBO + \angle BCD = \pi$$

pero $\angle BCD$ e $\angle ACO$ son opostos polo vértice:

$$2\cdot \angle BOD + \angle CBO + \angle ACO = \pi \qquad (1)$$

Por outra banda, no triángulo $AOC$

$$\angle COA + \angle OAC + \angle ACO = \pi$$

, e por ser $OBA$ isóscele

$$\angle COA + \angle CBO + \angle ACO = \pi \qquad (2)$$

De (1) e (2) obtense claramente que $2\cdot \angle BOD = \angle COA$, e de aí inmediatamente que, como queriamos demostrar:

$$\angle COA = \dfrac{\angle BOA}{3}$$

Relacionado con isto:

• Trisección dun ángulo con regra marcada (I). 
• Trisección aproximada dun ángulo (I).
• Trisección aproximada dun ángulo (II).
  

Trisección dun ángulo con regra marcada (I)

Xa que na anterior entrada abrimos a caixa de Pandora das construcións con regra marcada, imos compartir algunha máis. Recordemos que unha regra marcada é, simplemente, unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Con isto é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.

A de hoxe débese nin máis nin menos que ao gran Arquímedes, e é relativa a un dos tres problemas clásicos da xeometría da regra e o compás. Xa falaramos deles neste mesmo blog, e explicamos o porqué da súa imposibilidade... sempre e cando nos restrinxamos ás normas clásicas. E é que se modificamos as esixencias os problemas si son resolubles mediante outros procedementos. Con papiroflexia, por exemplo. Nesta entrada imos mostrar como trisecar un ángulo empregando unha regra marcada.

Este tipo de construcións denomínanse neusis, método que consiste en rotar a regra arredor dun punto até que a lonxitude fixa coincide co elemento desexado. Este método ten a súa importancia precisamente porque permite resolver algúns problemas xeométricos non resolubles só coas normas clásicas, máis restritivas.

Accede á aplicación GeoGebra

O uso da regra marcada aparece no paso 6, cando se apoia a regra sobre o punto $A$ e se coloca de xeito que a distancia entre os puntos $C$ e $D$ que aparecen coincide co raio da circunferencia.

É evidente que os triángulos $AOC$ e $DCO$ son isósecele, xa que teñen cada un dous lados da mesma medida que o raio da circunferencia.

$$\begin{array}{c}\angle BOA + \angle AOC + \angle COD = \pi \\ \\ \angle BOA + \left( \pi - 2\cdot \angle OCA \right) + \angle COD = \pi \\ \\ \angle BOA - 2\cdot \angle OCA + \angle COD = 0 \\ \\ \angle BOA - 4\cdot \angle COD + \angle COD = 0 \\ \\ \angle BOA - 3\cdot \angle COD = 0\\ \\ \dfrac{\angle BOA}{3} = \angle COD = \angle ODC \end{array}$$

, onde na antepenúltima liña aplicamos que $\angle OCA = 2\cdot \angle COD$, xa que $\angle DCO + \angle OCA = \pi$ e tamén $\angle ODC + \angle DCO + \angle COD=\pi$.

Relacionado con isto:

• Os tres problemas clásicos da xeometría con regra e compás.
• Construcciones con regla y compás, por Juan Sabia. 
• Acerca del problema de la trisección de un ángulo, por Juana Contreras e Claudio del Pino.
  
• A constante de tribonacci.
  

"Problema para xudeus" (3)

Hai pouco achegabamos as dificultades que enfrontaban os estudantes xudeus cando querían acceder á Facultade de Matemáticas da Universidade de Moscú, aló polos anos 70.

Tanya Khovanova e Alexey Radul compartiron unha listaxe de problemas que se propoñían na proba oral ao estudantes xudeus. Todos tiñan un aquel que os facía especialmente difíciles, e algúns deles eran construcións con regra e compás, coma o problema 6 desa listaxe, que é o que traemos hoxe ao blog:

Dado un punto $M$ e un ángulo $\hat{C}$, usando a regra e o compás

debuxa unha recta que pase por $M$ de tal xeito que corte ao ángulo

formando un triángulo de perímetro $p$ dado.

Nótese que o punto M debe estar fóra do ángulo $\hat{C}$.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Problema para xudeus (1).
• Problema para xudeus (2).
  
• Alexandre Shen explicando a historia desta discriminación.
• Listaxe de "problemas para xudeus", por Tanya Khovanova e Alexey Radul.

Trisección aproximada dun ángulo (I)

Pierre Wantzel demostrou a imposibilidade de construír algúns problemas xeométricos clásicos empregando a regra e o compás. En 1837 publicou a imposibilidade da trisección do ángulo, e fíxoo tamén coa duplicación do cubo ou a construción dun polígono regular tal que o seu número de lados no sexa produto dunha potencia de dous e calquera número de Fermat (xa probado con anterioridade por Gauss).

Esta construción é unha aproximación da trisección dun ángulo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Trisección estimada dun ángulo.

Trisección aproximada dun ángulo (II)

Pierre Wantzel demostrou a imposibilidade de construír algúns problemas xeométricos clásicos empregando a regra e o compás. En 1837 publicou a imposibilidade da trisección do ángulo, e fíxoo tamén coa duplicación do cubo ou a construción dun polígono regular tal que o seu número de lados no sexa produto dunha potencia de dous e calquera número de Fermat (xa probado con anterioridade por Gauss).

Esta construción, que debemos a Jim Loy, é unha aproximación da trisección dun ángulo.

Accede á aplicación GeoGebra

Rombo dados un ángulo e un lado

Un rombo é un paralelogramo cos catros lados iguais e cos ángulos iguais dous a dous. Imos construílo debuxando primeiro o ángulo dado e a continuación o lado.

Accede á aplicación GeoGebra

Triángulo isóscele dados o lado e o ángulo da base

Máis construcións de triángulos. Imos construír un que sexa isóscele, partindo do ángulo e do lado da base. Como é un triángulo isóscele, a figura terá dous ángulos e dous lados con esa mesma medida.

Previamente ao inicio en si da construción, o primeiro paso consiste en establecer a recta sobre a que debuxaremos a base do triángulo.

Accede á aplicación GeoGebra

Recta por un punto exterior a outra recta, formando un ángulo dado con esta

Para rematar coas tanxentes, imos ver unha construción na cal o cálculo da recta tanxente é só un paso intermedio. Fixado un ángulo, partimos dunha recta e un punto exterior a ela, e buscaremos debuxar outra recta que, formando o ángulo dado coa recta inicial, pase polo punto dado.

Acceder á aplicación GeoGebra

Rectas tanxentes a un círculo formando un ángulo dado

Siguindo coa nosa serie de tanxentes, nesta entrada imos complicar un pouco máis a construción buscando o xeito de construír as tanxentes a un círculo de maneira que esas dúas rectas tanxentes formen un ángulo dado.

Accede á aplicación GeoGebra

Sumar dous ángulos nun lado dado

Continuando coa nosa última entrada, Trasladar calquera ángulo dado, nesta ocasión veremos como sumar dous ángulos sobre un lado dado. En realidade, trátase simplemente de facer dúas veces consecutivas o que faciamos naquela entrada. E se queremos sumar máis de dous ángulos, o procedemento será completamente análogo, engadindo un ángulo máis en cada paso.

Accede á aplicación GeoGebra

Trasladar calquera ángulo dado

Xa sabemos como trasladar unha distancia calquera a un punto dado. Aprendamos agora tamén a trasladar un ángulo calquera sobre un lado dado, obtendo así unha copia da mesma amplitude que o ángulo de partida.

Accede á aplicación GeoGebra

Bisectriz dun ángulo

A bisectriz dun ángulo é a semirrecta que o divide en dous ángulos iguales. Pasa polo vértice e resulta ser o lugar xeométrico dos puntos do plano que equidistan dos lados que forman o ángulo.

Accede á aplicación GeoGebra