Triángulo isóscele dadas a altura e a suma de dous lados

Lendo o último número (volume 25, número 2, 2022) de La Gaceta da Real Sociedad Matemática Española, atopo unha construción con regra e compás que me apetece elaborar e compartir. Xa noutra ocasión La Gaceta me servira de inspiración.

Nesta ocasión, a regra e o compás aparecen nun artigo de Edgar Labarga Varona sobre a escola de análise armónica da Universidade de Chicago, onde no s. XX destacaron enormemente Antoni S. Zygmund e Alberto P. Calderón.

Labarga cita ao propio Calderón para expoñer unha anécdota de cando este estaba no internado suizo Montana Knabeninstitut: <<Habiendo yo recién ingresado al ciclo secundario, tenía entonces un poco más de doce años de edad, cometí, en cierta oportunidad, una travesura en presencia de mi profesor de matemática. Este se acercó y me anunció que sería sometido a una medida disciplinaria por razón de mi conducta. Luego se alejó, pero a poco volvió sobre sus pasos y acercándose nuevamente dijo: "Oye, te voy a dar un problema de geometría. Si eres capaz de resolverlo tu conducta será perdonada.">>.

O problema era o seguinte: construír con regra e compás un triángulo isóscele do cal se coñece a altura e mais a suma da base e un dos lados restantes.

A chave da construción está en comezar cunha base $A'B'$ de medida a suma dada, xa que o triángulo $A'B'C$, tamén isóscele, ten a mesma altura que o triángulo buscado $ABC$. E despois hai que determinar o vértice $A$, que xace sobre o segmento $A'B'$ de tal xeito que a súa distancia a $C$ sexa o dobre da súa distancia a $A'$.

Na demostración xoga un papel destacado o teorema da bisectriz, que asegura que nun triángulo, a razón entre dous lados é igual á razón das partes nas cales qeuda dividio o terceiro lado pola bisectriz do ángulo oposto. É un resultado interesante, xa que se pode aplicar tanto coa bisectriz interior coma coa bisectriz exterior.

 Accede á aplicación GeoGebra 

Relacionado con isto:

• La Gaceta da Real Sociedad Matemática Española.
• Reflexiones sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, por Alberto P. Calderón na revista Números, 1998.
• Revista de Educación Matemática da UMA e a UNC, volume 4, número 3, 1989.

"Problema para xudeus" (3)

Hai pouco achegabamos as dificultades que enfrontaban os estudantes xudeus cando querían acceder á Facultade de Matemáticas da Universidade de Moscú, aló polos anos 70.

Tanya Khovanova e Alexey Radul compartiron unha listaxe de problemas que se propoñían na proba oral ao estudantes xudeus. Todos tiñan un aquel que os facía especialmente difíciles, e algúns deles eran construcións con regra e compás, coma o problema 6 desa listaxe, que é o que traemos hoxe ao blog:

Dado un punto $M$ e un ángulo $\hat{C}$, usando a regra e o compás

debuxa unha recta que pase por $M$ de tal xeito que corte ao ángulo

formando un triángulo de perímetro $p$ dado.

Nótese que o punto M debe estar fóra do ángulo $\hat{C}$.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Problema para xudeus (1).
• Problema para xudeus (2).
  
• Alexandre Shen explicando a historia desta discriminación.
• Listaxe de "problemas para xudeus", por Tanya Khovanova e Alexey Radul.

"Problema para xudeus" (1)

Xa hai anos que sabía da discriminación que sufrían os estudantes xudeus para acceder ao Departamento de Matemáticas da Universidade de Moscú aló polos anos 70. Creo que foi lendo Amor e matemáticas, de Edward Frenkel onde descubrín tal circunstancia; máis tarde outras lecturas fixeron tamén referencias ao respecto.

Recentemente o estupendo blog Gaussianos mencionaba este tema e achegaba algúns dos problemas que se propoñían co gallo de dificultar a entrada de estudantes xudeus. Son os que acabaron sendo coñecidos coma Jewish problems ou Coffin problems.

Nesa entrada de Gaussianos apórtanse un par de enlaces interesantes: un artigo de Alexander Shen explicando esta historia de primeira man, e outro de Tanya Khovanova e Alexey Radul máis centrado nos problemas en si.

É dese último de onde tirei algúns enunciados que requiren construcións con regra e compás. Comezamos nesta entrada co problema 3 da listaxe aportada por Khovanova e Radul.

Dado un triángulo $ABC$, constrúe con regra e compás

un punto $K$ sobre o lado $AB$ e un punto $M$ sobre o lado $BC$ tales que:

$AK=KM=MC$

Accede á aplicación GeoGebra

Triángulo áureo de Kepler

O triángulo de Kepler, nomeado polo matemático Johannes Kepler, é un triángulo no cal a relación entre os lados está vinculada ao número áureo:

Os lados do triángulo estarán en progresión xeométrica, de xeito que:

 

Así, os cadrados dos lados do triángulo seguen unha progresión xeométrica dacuerdo co número aúreo:

Fonte: Wikipedia.

Para a súa construción, partimos doutra xa vista neste blog, como é a obtención dun rectángulo áureo a partir dun cadrado calquera, e é no rectángulo áureo onde debuxamos o triángulo de Kepler.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Rectángulo áureo a partir dun cadrado.

Cadrar un triángulo

Para os xeómetras da Grecia Clásica, cadrar unha figura plana consistía en obter, con regra e compás, un cadrado con igual área que a figura dada. É moi coñecido o problema da cuadratura do círculo, que só séculos máis tarde se revelou como imposible. Porén, ya dende a antigüidade era coñecido que se pode cadrar calquera polígono.

Nesta entrada presentamos a maneira de cadrar un triángulo calquera. Isto serve, ademais, como lema para cadrar un polígono convexo calquera de n lados, pois neste pode conseguirse unha partición de n - 2 triángulos sen máis que debuxar todas as súas diagonais dende un vértice.

Accede á aplicación GeoGebra

Punto de Fermat

O punto de Fermat dun triángulo, tamén chamado punto de Torricelli, é un punto tal que a distancia total dende os tres vértices do triángulo ao punto é a mínima posible. O seu nome débese a que o problema foi achegado orixinalmente por Pierre de Fermat nunha carta privada para Evangelista Torricelli, que o resolveu.

Como podes comprobar, se os ángulos do triángulo son menores de 120º, o punto é interior ao triángulo. Se algún dos ángulos é maior, con esta construción obtense un punto exterior ao triángulo, pero neste caso o punto que verificaría a condición de distancia mínima sería o propio vértice do ángulo maior de 120º.

Accede á aplicación GeoGebra

Tres círculos tanxentes nun triángulo isóscele

Esta construción é certamente complicada, pero aplícase a calquera situación axustada aos seus puntos de partida.

Por exemplo, para inscribir perfectamente 22 círculos nun heptágono regular une os seus vértices ao centro e usa esta construción en cada un dos triángulos isóscele formados, encontrando así 21 círculos. Engade outro círculo central e aí están os 22 círculos tanxentes.

Accede á aplicación GeoGebra

Cadrado e catro triángulos rectángulos nun cuadrado

Esta construción baséase nas diseccións do cadrado de Abu'l-Wafa. 

Accede á aplicación GeoGebra

Semicírculo nun triángulo isóscele

Por primeira vez nesta páxina imos construír un semicírculo. Fíxate que os dous círculos trazados no primeiro paso deben ter o mesmo raio arbitrario. E aínda que en principio vale calquera raio, debes ter coidado de que posteriormente os puntos J, K e F, G non caian moi xuntos, pois iso podería complicar a construción. 

Accede á aplicación GeoGebra

Triángulo equilátero sobre un lado dado (II)

Foi a construción coa que estreamos este blog hai xa uns meses. Imos realizar hoxe a mesma construción pero co condicionante de facelo empregando tan só o compás, ao igual que o feito na entrada anterior.

Esta construción foi observada por Dan Pedoe nun boceto dun estudante anónimo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Triángulo equilátero sobre un lado dado.

Triángulo equilátero nun círculo (II)

Entre as construcións con regra e compás teñen especial interese aquelas que, de feito, se poden realizar tan só co compás (salvo quizais, por suposto, a figura final buscada). Hoxe traemos unha destas, que xa construiramos no seu día pero facendo uso tamén da regra.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Triángulo equilátero nun círculo (I).

Centro dun círculo

Aínda que poida non parecelo, esta entrada si ten relación cos triángulos. Dado un círculo, como podemos calcular o seu centro? Pois grazas á axuda dun triángulo inscrito. Unha vez debuxado este, calculamos as súas mediatrices e o seu punto de intersección, o circuncentro. Este último é precisamente o centro del círculo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Circuncentro e circuncírculo dun triángulo.

Excentro e excírculo dun triángulo

Entre os puntos notables dun triángulo, o excentro dun triángulo é o punto de intersección
das bisectrices exteriores de dous ángulos calquera dos tres ángulos do triángulo. Todo triángulo posúe tres excentros. No paso 6 calculamos dúas bisectrices exteriores; no paso 8 calculamos o excentro.

Unha vez temos o excentro calculamos a perpendicular ao lado máis cercano do triángulo que pasa por el, e isto permítenos debuxar o excírculo.

Accede á aplicación GeoGebra

Ortocentro dun triángulo

Imos con outro punto notable dun triángulo. O ortocentro é a intersección das alturas do triángulo. En física, o baricentro dun corpo material coincide co centro de masas do mesmo cando o cuerpo é homoxéneo (densidade uniforme) ou cando a distribución de materia no corpo ten certas propiedades, tales como a simetría.

O ortocentro atópase dentro do triángulo se este é acutángulo, coincide co vértice do ángulo recto se é rectángulo, e áchase fóra do triángulo se é obtusángulo.

Accede á aplicación GeoGebra

O ortocentro é tamén o incentro do triángulo órtico, tal e como se observa na figura. O triángulo órtico dun triángulo é o que ten por vértices os pés das tres alturas deste, é dicir, as proxeccións dos vértices sobre os lados.

Fonte: Wikimedia Commons.

Relacionado con isto:

• Circuncentro e circuncírculo dun triángulo.
• Incentro e incírculo dun triángulo.
• Baricentro de un triángulo.

Baricentro dun triángulo

O baricentro ou centroide é a intersección das medianas do triángulo. En física, o baricentro
dun corpo material coincide co centro de masas do mesmo cando o corpo é homoxéneo
(densidade uniforme) ou cando a distribución de materia no corpo ten certas propiedades, tales como a simetría.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Circuncentro e circuncírulo dun triángulo.
• Incentro e incírculo dun triángulo.

Incentro e incírculo dun triángulo

Na última entrada comezamos a construír os puntos notables dun triángulo, e hoxe continuaremos ese labor co incentro.

O incentro é a intersección das bisectrices interiores do triángulo. O incentro cumpre que a distancia a cada un dos lados do triángulo é a mesma; é tamén por tanto o centro do círculo inscrito no triángulo, que é o círculo tanxente aos tres lados do triángulo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Circuncentro e circuncírculo dun triángulo.

Circuncentro e circuncírculo dun triángulo

Nos triángulos hai un bo feixe de puntos de interese. Deles, algúns xa eran ben coñecidos polos gregos: o circuncentro, o incentro, o baricentro e o ortocentro. Nun triángulo equilátero estes catro puntos son concorrentes, pero en xeral son distintos.

Nestes apartados estamos construíndo eses puntos, respecto dos cales existen diversos feitos de interese, por exemplo que circuncentro, baricentro e ortocentro xacen sobre unha recta chamada a recta de Euler, honrando a Leonhard Euler que foi o seu descubridor en 1765.

Outra relación interesante é que a distancia entre o baricentro e o ortocentro é o dobre que a distancia entre o circuncentro e o baricentro.
Hoxe comezamos debuxando o circuncentro, que é o punto onde se intersecan as tres mediatrices do triángulo. O circuncentro cumpre que a distancia a cada un dos vértices do triángulo é a mesma; é tamén por tanto o centro do círculo circunscrito no triángulo, que é o círculo que pase polos tres vértices.

Accede á aplicación GeoGebra

Triángulo equilátero sobre unha altura dada

És suficiente coñecer a altura dun triángulo equilátero para poder debuxalo? Si, e aquí podes ver como facelo.

Accede á aplicación GeoGebra

Triángulo equilátero arredor dun círculo

Seguimos construíndo triángulos, e hoxe toca debuxar un equilátero arredor dun círculo dado.

Accede á aplicación GeoGebra

Triángulo semellante nun círculo

Partindo dun triángulo calquera dado, construiremos un semellante inscrito nun círculo; esta construción está tomada directamente dos Elementos de Euclides, concretamente é a proposición 2 do libro VI, que logo empregaría nas proposicións IV.11, IV.16 e XIII.13.

Accede á aplicación GeoGebra