Polígonos regulares construíbles con regra marcada

Neste mesmo blog xa falamos no seu día de cales son os polígonos regulares construíbles coas normas clásicas da regra e o compás. Recordemos o resultado ao respecto, que debemos a Gauss e a Pierre Wantzel:

 

Un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas da regra e o
compás se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k$$

, sendo r un enteiro non negativo e os factores $p_i$ primos de Fermat distintos entre si.

 

A día de hoxe, os únicos primos de Fermat coñecidos son 3, 5, 17, 257 e 65537. E recordemos que un primo de Fermat é un número primo da forma ${2}^{{2}^{n}}+1$. Son construíbles, pois, os polígonos regulares de 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17... lados.

Ultimamente dedicamos varias entradas a construcións realizadas cunha regra marcada, que é simplemente unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Dese xeito é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.

 

Resulta natural preguntarse que sucede con esta nova condición. Son todos os polígonos regulares construíbles se permitimos o uso da regra marcada? Acudimos ao teorema de Pierpont, que di:

 

Un polígono regular de n lados é construíble coa regra marcada se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k$$

, sendo a, b enteiros non negativos e os factores $p_i$ primos de Pierpont distintos entre si.

 

As similitudes co resultado de Gauss-Wantzel e cos primos de Fermat son claras, e os primos de Pierpont son da forma $2^k\cdot 3^l+1$, constituíndo a sucesión 2, 3, 5, 7, 13, 17...

En consecuencia, polígonos regulares que non son construíbles coas normas clásicas da regra e o compás si o son coa regra marcada (algún xa pasou por este blog, de feito), coma os que teñen 7, 9, 13, 14, 18, 19... lados.

 

Isto deixa o endecágono, de 11 lados, como o polígono regular con menos lados que non aparece nin nunha listaxe nin na outra. Non é nin múltiplo de 2, nin de 3, nin un primo de Pierpont, e por tanto non sería construíble coa regra marcada.

Porén, no ano 2014 Elliot Benjamin e Chip Snyder demostraron a existencia dunha construción para o endecágono empregando a regra marcada e o compás. Segundo entendo, a chave do asunto reside en que o resultado de Pierpont asume que a regra marcada permite obter puntos como intersección de dúas rectas. Por outra banda, nas normas clásicas da regra e o compás permítese a intersección entre dúas rectas, unha recta e unha circunferencia ou ben dúas circunferencias, así que Benjamin e Snyder para a súa demostración optaron por permitir os casos de dúas rectas e mais dunha recta e unha circunferencia, usando para iso o termo regra marcada restrinxida. A diferenza está, pois, nas hipóteses de partida.

Relacionado con isto:

• On an undemostrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticae, por James Pierpont.
• Geometric constructions, por George E. Martin. 
• Angle trisection, the heptagon and the triskaidecagon, por Andrew M. Gleason. 
• On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass, por Elliot Benjamin e Chip Snyder.
  
• Polígonos regulares construíbles con regra e compás. 
• Heptágono regular con regra marcada (I). 
• Heptágono regular con regra marcada (II). 
• Eneágono regular con regra marcada.
  

Os tres problemas clásicos

Por influencia da escola pitagórica, os matemáticos da Antiga Grecia concedían gran importancia á xeometría. Dentro desta, gozaban de especial consideración as construcións con regra e compás, que seguían unhas normas determinadas. Entre ditas construcións houbo algunhas que se fixeron particularmente famosas. Son os tres problemas clásicos da xeometría da regra e o compás: a cuadratura do círculo, a duplicación do cubo e a trisección do ángulo.

A cuadratura do círculo consiste en construír un cadrado con igual área que un círculo dado. A duplicación do cubo achega a construción do lado dun cubo tal que o seu volume sexa o dobre doutro cubo de lado coñecido. A trisección do ángulo procura construír un ángulo que sexa xusto a terceira parte doutro ángulo dado. Todo iso con regra e compás, claro.

Dende aquel entón e até o século XIX a resolución destes tres problemas foi abordada en multitude de ocasións, arroxando sempre resultados insatisfactorios. E é que no fondo deste asunto reside a imposibilidade de lograr tales construcións. Durante todo ese tempo a gran maioría dos intentos buscaban atopar a construción que permitise resolver o problema, pero o que sucedía é simplemente que non existe tal cousa.

Ferdinand von Lindemann demostrou en 1882 que o número $\pi$ é trascendente, é dicir, non é solución de ningunha ecuación alxébrica con coeficientes enteiros. Disto pode deducirse que é imposible, dada una lonxitude unidade, construír con regra e compás unha lonxitude igual a $\pi$ ou a $\sqrt{\pi}$. 

Sendo $r$ a área do círculo e $l$ o lado do cadrado, sexan $\pi\cdot r^2$ a área do círculo e $l^2$ a área do cadrado. Para poder realizar a cuadratura do círculo sería necesario que $l^2=\pi\cdot r^2$, e por tanto que $l = r \cdot \sqrt{\pi}$. É dicir, o raio do círculo e o lado do cadrado serían proporcionais con razón $\sqrt{\pi}$. Pero este último valor é trascendente, e por tanto a cuadratrura do círculo non é resoluble con regra e compás.

Pierre Wantzel publicou en 1837 a imposibilidade da trisección do ángulo e da duplicación do cubo con regra e compás. Tamén publicou a construción dun polígono regular tal que o seu número de lados non sexa produto dunha potencia de dous e calquera número de Fermat (probou a necesidade de dita proposición; con anterioridade Gauss probara a suficiencia).

Sendo $a$ o lado do cubo dado, e $b$ o lado do cubo duplicado, para achar este queremos que o volumen sexa dobre, é dicir que $b^3=2a^3$, o cal implicaría que $b=a\cdot \sqrt[3]{2}$. Os lados de ambos os cubos serían proporcionais con razón $\sqrt[3]{2}$.

Temos que $\sqrt[3]{2}$ é un número alxébrico (é dicir, si é solución de algunha ecuación alxébrica con coeficientes enteiros), pero non pode obterse dos números enteiros por suma, resta, multiplicación, división e extracción de raíces cadradas, que son as únicas que poden facerse con regra e compás. Para un número construíble, o grao do seu polinomio mínimo debe ser unha potencia de 2. Porén, o polinomio mínimo de $\sqrt[3]{2}$ sobre o corpo dos números racionais é $x^3-2$, que é irredutible e ten grao 3. En consecuencia, non é posible duplicar o cubo.

 

Basicamente, o que fixo Wantzel foi traballar co que agora coñecemos coma 'corpos de extensión', e resulta que o corpo que se obtén engadindo $\sqrt[3]{2}$ aos números racionais ten orde 3. Os números que se poden construír con regra e compás son aqueles para os que se usan as operacións aritméticas e as raíces cadradas, nun proceso que se pode repetir pero que leva a extensións tales que o seu grao con respecto ao corpo de partida (os racionais neste caso) é necesariamente unha potencia de 2. E 3, obviamente, non é unha potencia de 2.

A imposibilidade da trisección do ángulo baséase nun argumento similar ao da duplicación do cubo, só que o número non construíble con regra e compás é un pouco máis complicado de obter. Consideremos un ángulo $A$, e a súa trisección consistiría en obter o ángulo $\frac{A}{3}$, e isto é equivalente a obter o seu seno ou o seu coseno.

 

$\cos A = \cos \left( \dfrac{2A}{3} + \dfrac{A}{3} \right) = \cos \dfrac{2A}{3}\cdot \cos \dfrac{A}{3} - \sin \dfrac{2A}{3}\cdot \sin \dfrac{A}{3} =$

$= \left( \cos^2 \dfrac{A}{3} - \sin^2 \dfrac{A}{3} \right) \cdot \cos \dfrac{A}{3} - \left( 2\cdot \sin \dfrac{A}{3} \cdot \cos \dfrac{A}{3}\right) \cdot \sin \dfrac{A}{3} =$ 

$= \cos^3 \dfrac{A}{3} - \sin^2 \dfrac{A}{3}\cdot \cos \dfrac{A}{3} - 2\cdot \sin^2 \dfrac{A}{3}\cdot \cos \dfrac{A}{3} =$ 

$= \cos^3 \dfrac{A}{3} - \left( 1-\cos^2 \dfrac{A}{3} \right) \cdot \cos \dfrac{A}{3} -2\cdot \left(  1-\cos^2 \dfrac{A}{3}\right)\cdot \cos \dfrac{A}{3} =$ 

$= \cos^3 \dfrac{A}{3} - \cos \dfrac{A}{3} + \cos^3 \dfrac{A}{3} - 2\cdot \cos \dfrac{A}{3} +2\cdot \cos^3 \dfrac{A}{3} =$ 

$= 4\cdot \cos^3 \dfrac{A}{3} - 3\cdot \cos \dfrac{A}{3}$

É dicir, que $x=\cos \frac{A}{3}$ debe satisfacer que $\cos A=4x^3-3x$, ou equivalentemente que $4x^3-3x-a=0$ onde $a=\cos A$. 

 

Tomando como exemplo o ángulo de 60º (a súa trisección sería o ángulo de 20º) tense o polinomio $8x^3-6x-1=0$, xa que $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, que é un polinomio irredutible de grao 3 con coeficientes enteiros. Dito doutro modo, o corpo de extensión que se obtén ao engadir $x=\cos 20^{\circ}$ ten orde 3. Ao non ser unha potencia de 2, o $\cos 20^{\circ}$ non é construíble con regra e compás, e en consecuencia non se pode trisecar o ángulo de 60º.
 

Por último, quero constatar que, aínda que estes tres problemas son imposibles coas normas clásicas da regra e o compás, se eliminamos ditas esixencias si son resolubles mediante unha ampla gama de procedemientos xeométricos e alxébricos. Por exemplo, basta con que se permita utilizar unha regra con dúas marcas e un compás para que si sexa posible duplicar o cubo. Outro exemplo sería o uso de papiroflexia, método co que poderiamos construír sen problemas a trisección do ángulo.

Relacionado con todo isto: 

• Trisección aproximada dun ángulo, neste mesmo blog.
• Trisección aproximada dun ángulo (II), neste mesmo blog.
• Cuadratura do círculo aproximada, neste mesmo blog.
• Cuadratura do círculo aproximada (II), neste mesmo blog.
• Artigo de Pierre Wantzel (1837). 
• Trisección dun ángulo, por José Luis Muñoz Casado.
• Un pouco da historia destes tres problemas.
• Crónicas matemáticas, de Antonio J. Durán.
  

Xeometrografía

Este blog tivo un par de anos de actividade frecuente, e logo un tempo no cal só colguei entradas novas de forma ocasional. Recoñezo que na actualidade o seu estado roza o abandono, aínda que por outra parte foron moitas as horas de entretemento que me proporcionou.

Pero a Edición 7.6 do Carnaval de Matemáticas está dedicada á regra e o compás, así que un blog coma este que os ten por tema central tiña que participar si ou si. Estou falto de ideas para o blog, o que me leva a -con algo de rubor- traer para a ocasión esta revisión dunha entrada algo antiga. Así que imos aó:

Esta entrada participa na Edición 7.6 do Carnaval de Matemáticas, que nesta ocasión organiza Gaussianos.

A xeometrografía estuda a complexidade das construcións con regra e compás. Pretende establecer criterios que permitan comparar a sinxeleza de diferentes construcións xeométricas que cheguen a un mesmo resultado final. Unha medida cuantitativa da sinxeleza dunha construción xeométrica foi creada en 1907 por Emile Lemoine. Considéranse as operacións seguintes:

$S_1$: colocar a regra sobre un punto dado.

$S_2$: debuxar unha liña recta.
$C_1$: colocar o compás nun punto dado.

$C_2$: colocar o compás nun punto indeterminado de una liña.
$C_3$: debuxar unha circunferencia.

Se cada unha destas operacións se repite, respectivamente, $m_1, m_2, n_1, n_2, n_3$ veces nunha construción, entón ao número total de operacións $m_1+m_2+n_1+n_2+n_3$ chámaselle simplicidade da construción. Canto menor sexa este valor, máis eficiente será a construción.

A simplicidade dunha construción podería mellorarse, por exemplo, logrando describir de xeito sucesivo círculos que teñan un raio común ou un centro común, pois dese xeito non habería que recolocar o compás e non aumentarían $C_1$ nin $C_2$.

Tamén se poden definir outros coeficientes como o de exactitude, que é $m_1+n_1+n_2$, e denota o número de operacións "preparatorias" sobre os cales depende a exactitude da construción.

Para escribir esta entrada, baseime fundamentalmente no artigo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", publicado en 1991 por Duane DeTemple na revista The American Mathematical Monthly. Neste mesmo artigo, DeTemple ofrece construcións para o pentágono regular e para os polígonos regulares de 17, 257 e 65537 lados (os tres números son primos de Fermat). Por exemplo, a do pentágono tería unha simplicidade de 15.

No caso do heptadecágono, a súa construción tería simplicidade 45, mentres que a construción de Herbert W. Hamilton da que xa falamos no seu día tería simplicidade polo menos 53.

E para construír o polígono regular de 257 lados, xa estariamos a falar de simplicidade 566. Este número deixa ás claras a complexidade da construción práctica deste polígono, e por que hai pouco falamos del pero non mostramos dita construción. E é que un polígono de 257 lados é, a simple vista, indistinguible dun círculo.

E o propio DeTempe afirma que as construcións que describe teñen menor simplicidade que as súas "competidoras" e que son quizais case óptimas. "Quizais", porque segundo parece determinar se unha construción dada ten a simplicidade máis baixa posible é un problema aínda aberto.

Relacionado con esto:

• Construcción del polígono de 17 lados.
• El polígono de 257 lados.
• El polígono de 65537 lados. 

Polígonos regulares construíbles con regra e compás

Xa ía sendo hora de dedicar unha entrada a explicar que polígonos regulares son construíbles coas normas clásicas da regra e o compás. Neste blog vimos xa como construír os seguintes polígonos regulares, partindo dun lado dado (ou dito doutro xeito, partindo de dous puntos dados):

• Un triángulo equilátero.
• Un cadrado.
• Un pentágono regular.
• Un hexágono regular.
• Un octógono regular.
• Un decágono regular.
• Un dodecágono regular.

E os seguintes, inscritos nun círculo dado:

• Un hexadecágono regular. 
• Un heptadecágono regular.

 

Pero, que sucede con outros dos que non mostramos construcións? Poderase construír un polígono calquera? Pois ben, a resposta é que hai polígonos regulares que NON se poden construír coas normas clásicas da regra e o compás. Deles, o heptágono regular é o que ten menor número de lados. E o eneágono ou o endecágono tampouco o son. De feito, existe un resultado que nos permite determinar se un polígono regular é ou non é construíble:

Un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas da regra e o
compás se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k $$

, sendo $r>0$ e os factores $p_i$ primos de Fermat distintos entre si.

A día de hoxe, os únicos primos de Fermat coñecidos son 3, 5, 17, 257 e 65537. Recordemos que un primo de Fermat é un número primo da forma $ { 2 }^{ { 2 }^{ n } }+1 $. 

Así, podemos mostrar por que o heptágono regular e o eneágono regular non son construíbles, pero os demais polígonos regulares até 10 lados si o son:

$$ 3=2^{2^0}+1 \hspace{1.5cm} 4=2^2 \hspace{1.5cm} 5=2^{2^1}+1 \hspace{1.5cm} 6=2\cdot \left(2^{2^0}+1\right) $$

$$ 7\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 8=2^3 \hspace{1cm} 9=3^2\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 10=2\cdot \left(2^{2^1}+1 \right) $$

Este resultado debémosllo ao traballo de Gauss e de Pierre Wantzel. Gauss publicou a demostración da suficiencia da proposición no libro Disquisitiones arithmeticae, escrito en 1798. Podes vela aquí no orixinal en latín: é o artigo 365 que se atopa na páxina 662. Ou podes consultar aquí unha traducción ao castelán: é o artigo 365 que se atopa na páxina 470. Gauss sinalou tamén a necesidade da proposición, pero non a demostrou. Quen finalmente a probou foi Wantzel no 1837, nun artigo no que tamén demostrou a imposibilidade de dous dos problemas clásicos: a duplicación do cubo e a trisección do ángulo.

Porén, o que Gauss proporcionou é a demostración de que o heptadecágono é construíble, pero non propuxo unha construción propiamente dita. A que presentamos neste blog hai un tempo foi dada por Herbert W. Richmond en 1893. E, de feito, foi Johannes Erchinger quen propuxo a primeira construción, en 1825. E é que:

$$ 17=2^{2^2}+1 $$

 

O que Gauss fixo foi mostrar que as solucións de $x^p-1$, con $p$ primo, son expresións racionais de soucións de ecuacións tales que os seus graos son os divisores primos de $p-1$, e tales que os seus coeficientes son expresións racionais das solucións das ecuacións precedentes, que son resolubles por radicais. Cando $p$ é un primo da forma $2^{2^n}+1$, todas as ecuacións así consideradas son de grao 2, e en consecuencia as solucións de $x^p-1$ poden expresarse iterando operacións aritméticas e raíces cadradas. Dese xeito, son construíbles coa regra e o compás.

Para rematar, engadir que no caso de non ser construíble un polígono regular, podemos intentar trazar algunha aproximación, e por exemplo neste mesmo blog xa tratamos aproximacións bastante boas para o heptágono, o eneágono ou o endecágono regulares.

Relacionado con isto:

• A regra e o compás na xeometría clásica.
• Construcciones con regla y compás (III): Los polígonos regulares, do blog Gaussianos. 
• Sucesión formada polos números de lados de polígonos construíbles con regra e compás. 
• Crónicas matemáticas, de Antonio J. Durán.
  

Cuadratura do círculo aproximada (II)

Ferdinand von Lindemann demostrou no ano 1882 que o número $\pi$ é trascendente, é dicir, non é solución de ningunha ecuación alxébrica con coeficientes enteiros. Disto pode deducirse que é imposible, dada unha lonxitude unidade, construír con regra e compás unha lonxitude igual a $\pi$ ou a $\sqrt{\pi}$. Tamén permite afirmar que o coñecido problema clásico da cuadratura do círculo non se pode resolver usando regra e compás.

Esta construción, publicada no ano 1913 por E. W. Hobson, aproxima $\sqrt{\pi}$ como 1,77247...

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Cuadratura do círculo aproximada.

Cuadratura do círculo aproximada (I)

Ferdinand von Lindemann demostrou no ano 1882 que o número $\pi$ é trascendente, é dicir, non é solución de ningunha ecuación alxébrica con coeficientes enteiros. Disto pode deducirse que é imposible, dada unha lonxitude unidade, construír con regra e compás unha lonxitude igual a $\pi$ ou a $\sqrt{\pi}$. Tamén permite afirmar que o coñecido problema clásico da cuadratura do círculo non se pode resolver usando regra e compás.

Esta construción, publicada por Adam A. Kochanski en Acta Eruditorum no ano 1685, aproxima $\pi$ como 3,14153...

Accede á aplicación GeoGebra

A regra e o compás na xeometría clásica

Antes de comezarmos a realizar construcións, imos deixar constancia de cales son as ferramentas das que dispoñemos. Na xeometría clásica enténdese por construción con regra e compás o trazado de puntos, segmentos de recta e circunferencias usando exclusivamente unha regra e un compás idealizados.

• Á regla supónselle unha lonxitude infinita, e carece de marcas que permitan realizar medicións. Ademais podemos pensar nela como unha regra dun só bordo, pois permítenos debuxar, por exemplo, rectas paralelas. Así, serve para trazar unha recta entre dous puntos prefixados ou ben para prolongar tanto como se desexe unha recta xa existente.
• O compás permite trazar circunferencias de calquera raio, pero só pode abrirse entre puntos que fosen previamente construídos, así que en realidade a súa única función é trazar unha circunferencia, ou una parte dela, cun centro predeterminado e un raio tamén determinado por un punto prefixado. Ademais, suponse que se pecha cando se separa do papel, de xeito que non ten memoria senón que "esquece" cal era a medida utilizada e non permite repetila.

Tendo en conta estas consideracións, resulta que para realizar construcións con regra e compás limitarémonos a aplicar as cinco construcións básicas, podendo usar en cada unha destas os puntos, rectas e/ou circunferencias creadas en pasos anteriores. Esas construcións posibles son:

1. Crear un segmento de recta que une dous puntos xa existentes, ou alongar un xa construído.
2. Crear unha circunferencia con centro nun punto dado e que pasa por outro punto dado.
3. Crear un punto no cal se intersecan dúas rectas non paralelas.
4. Crear un punto ou dous nos cales se intersecan unha recta e unha circunferencia.
5. Crear un punto ou dous nos cales se intersecan dúas circunferencias.

Neste blog sempre presentamos as construcións mediante applets de Geogebra (motivo polo cal debes ter actualizada a versión de Java). En dito programa as cinco construcións posibles que acabamos de citar resúmense en que só podemos utilizar as ferramentas Segmento, Recta pasando por dous puntos e Circunferencia con centro dado e pasando por un punto. Ben, en realidade e grazas ao explicado nesta entrada tamén nos permitiremos, nalguhna que outra ocasión, utilizar a ferramenta Circunferencia con centro e raio dados, pero debemos ter presente que a construción clásica inclúe, cada vez que a usamos, todos os pasos que explicamos en dita entrada. Simplemente, darémolos por suposto en prol dunha mellor comprensión das construcións.

Nota: se ben a gran maioría das construcións presentadas no blog seguen estas normas básicas, nalgunha que outra permitímonos "saltar" a suposición de que o compás se pecha cando se separa do papel, pero tal circunstancia dáse en poucas ocasións.

Fonte: Wikimedia Commons.