Polígono de 257 lados

Tal e coma contabamos hai pouco, non todos os polígonos regulares son construíbles con regra e compás. Entre os que si o son temos o polígono regular de 257 lados, número que, recordemos, é o cuarto primo de Fermat coñecido.

A diferenza do habitual, non imos traer aquí a construción deste polígono dada a súa extensión e dificultade, e ímonos limitar a contextualizalo.  

Obviamente, un polígono cun número tan grande de lados non somos capaces de distinguilo dun círculo de xeito visual. De feito, a diferenza do seu perímetro coa lonxitude da circunferencia circunscrita sitúa se en torno ás dezmilésimas. Para este cálculo, podemos usar a seguinte fórmula para o perímetro dun polígono regular de n lados dado o seu raio: 

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 
 

Así, sen máis que tomar como raio do polígono a unidade 1 (e será o mesmo raio para a circunferencia circunscrita), a diferenza entre ambos os perímetros é un número tal que a primeira cifra significativa é a dezmilésima.

A primeira construción explícita debémoslla a Magnus Georg Paucker, que a publica no ano 1822 en Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (traducido, algo así coma 'Sesións anuais da Sociedade de Literatura e Arte de Kurland'). Podemos consultala aquí, páxina 188, no apartado "Dasregelmäßige Zweyhundersiebenundfunfzig-Eck im Kreise" (traducido, 'sobre a división do círculo en 65537 partes iguais'). No orixinal alemán, claro.

 

Pouco despois, en 1832, outra construción era publicada por Friedrich Julius Richelot en Journal für die reine und angewandte Mathematik (traducido, algo así coma 'Revista de Matemáticas Puras e Aplicadas'). Podemos consultala aquí, a partir da páxina 146, no capítulo "De resolutione algebraica aequationes $x^{257}=1$" (traducido, 'sobre a resolución da ecuación alxébrica $x^{257}=1$'). O orixinal está, neste caso, en latín.

Outro método, proposto por Duane DeTemple, involucra o uso de 150 círculos. A súa demostración podemos atopala no arttigo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", páxinas 104 a 107, publicado no ano 1991 na revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcións que escapan notablamente dos obxectivos deste humilde blog.

Relacionado con isto:

• Polígonos regulares construíbles con regra e compás.
• Polígono regular de 65537 lados.