Xa ía sendo hora de dedicar unha entrada a explicar que polígonos regulares son construíbles coas normas clásicas da regra e o compás. Neste blog vimos xa como construír os seguintes polígonos regulares, partindo dun lado dado (ou dito doutro xeito, partindo de dous puntos dados):
- Un triángulo equilátero.
- Un cadrado.
- Un pentágono regular.
- Un hexágono regular.
- Un octógono regular.
- Un decágono regular.
- Un dodecágono regular.
E os seguintes, inscritos nun círculo dado:
Un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas da regra e o
compás se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:
compás se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:
$$n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k $$
, sendo $r>0$ e os factores $p_i$ primos de Fermat distintos entre si.
A día de hoxe, os únicos primos de Fermat coñecidos son 3, 5, 17, 257 e 65537. Recordemos que un primo de Fermat é un número primo da forma $ { 2 }^{ { 2 }^{ n } }+1 $.
Así, podemos mostrar por que o heptágono regular e o eneágono regular non son construíbles, pero os demais polígonos regulares até 10 lados si o son:
$$ 3=2^{2^0}+1 \hspace{1.5cm} 4=2^2 \hspace{1.5cm} 5=2^{2^1}+1 \hspace{1.5cm} 6=2\cdot \left(2^{2^0}+1\right) $$
Así, podemos mostrar por que o heptágono regular e o eneágono regular non son construíbles, pero os demais polígonos regulares até 10 lados si o son:
$$ 3=2^{2^0}+1 \hspace{1.5cm} 4=2^2 \hspace{1.5cm} 5=2^{2^1}+1 \hspace{1.5cm} 6=2\cdot \left(2^{2^0}+1\right) $$
$$ 7\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 8=2^3 \hspace{1cm} 9=3^2\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 10=2\cdot \left(2^{2^1}+1 \right) $$
Este resultado debémosllo ao traballo de Gauss e de Pierre Wantzel. Gauss publicou a demostración da suficiencia da proposición no libro Disquisitiones arithmeticae, escrito en 1798. Podes vela aquí no orixinal en latín: é o artigo 365 que se atopa na páxina 662. Ou podes consultar aquí unha traducción ao castelán: é o artigo 365 que se atopa na páxina 470. Gauss sinalou tamén a necesidade da proposición, pero non a demostrou. Quen finalmente a probou foi Wantzel no 1837, nun artigo no que tamén demostrou a imposibilidade de dous dos problemas clásicos: a duplicación do cubo e a trisección do ángulo.
Porén, o que Gauss proporcionou é a demostración de que o heptadecágono é construíble, pero non propuxo unha construción propiamente dita. A que presentamos neste blog hai un tempo foi dada por Herbert W. Richmond en 1893. E, de feito, foi Johannes Erchinger quen propuxo a primeira construción, en 1825. E é que:
$$ 17=2^{2^2}+1 $$
O que Gauss fixo foi mostrar que as solucións de $x^p-1$, con $p$ primo, son expresións racionais de soucións de ecuacións tales que os seus graos son os divisores primos de $p-1$, e tales que os seus coeficientes son expresións racionais das solucións das ecuacións precedentes, que son resolubles por radicais. Cando $p$ é un primo da forma $2^{2^n}+1$, todas as ecuacións así consideradas son de grao 2, e en consecuencia as solucións de $x^p-1$ poden expresarse iterando operacións aritméticas e raíces cadradas. Dese xeito, son construíbles coa regra e o compás.
Para rematar, engadir que no caso de non ser construíble un polígono regular, podemos intentar trazar algunha aproximación, e por exemplo neste mesmo blog xa tratamos aproximacións bastante boas para o heptágono, o eneágono ou o endecágono regulares.
Relacionado con isto:
Gracias por la información
ResponderEliminar