Xa temos falado da imposibilidade da duplicación do cubo coas normas clásicas da regra e o compás. Resumindo, resulta que se $k$ é o lado do cubo dado e $x$ o lado do cubo duplicado, o que se quere é que $x^3=2k^3$, ou equivalentemente $x=\sqrt[3]{2}\cdot k$. E resulta que o número $\sqrt[3]{2}$ non é construíble con regra e compás, xa que o seu polinomio mínimo sobre o corpo dos racionais ten grao 3, e só son construíbles aqueles que teñen como grao unha potencia de 2.
Non obstante, dito número si é construíble se un bota man da regra marcada. Por se pillamos a alguén con despiste, baste recordar que unha regra marcada é, simplemente unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. E co seu uso é posible trasladar dita medida a calquera lugar, obtendo elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.
Obter $\sqrt[3]{2}$ mediante esta técnica é doado, e será o que permita duplicar o cubo e por tanto rematar co mito grego.
Procedamos coa demostración, sacada de 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their Historiy and Solution, de Heinrich Dörrie.
Por simplicidade, renomeamos os segmentos $AB=k$, $CE=x$ e $BF=y$. Aplicando o teorema do coseno no triángulo $ACF$:
$$\begin{array}{c}(x+k)^2=k^2+(y+k)^2-2\cdot k\cdot (y+k)\cdot \cos 60^{\circ}\\ \\ (x+k)^2-k^2 = (y+k)^2-k\cdot (y+k)\\ \\ (x+k)^2-k^2 = (y+k)\cdot (y+k-k) \\ \\ (x+k)^2-k^2 = y\cdot (y+k)\\ \\ x^2+2kx+k^2-k^2 = y^2+ky\\ \\ x^2+2kx=y^2+ky \qquad (1)\end{array}$$
A continuación aplícase o teorema de Menelao ao triángulo $ACF$ coa recta $DBE$:
$$\dfrac{AB}{BF} \cdot \dfrac{FE}{EC} \cdot \dfrac{CA}{DA}=1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{k}{y} \cdot \dfrac{k}{x} \cdot \dfrac{2k}{k} = 1 \quad \Rightarrow \quad xy=2k^2 \qquad (2)$$
De (1) e (2) dedúcese que
$$\begin{array}{c}x^2+2kx = \left( \dfrac{2k^2}{x} \right)^2+k\cdot \dfrac{2k^2}{x}\\ \\ x^4+2kx^3=4k^4+2k^3x\\ \\ x^3\cdot (x+2k) = 2k^3\cdot (2k+x)\\ \\ x^3=2k^3\\ \\ x=\sqrt[3]{2}\cdot k \end{array}$$
E, como se quería concluír:
$$CE=\sqrt[3]{2}\cdot AB$$
Relacionado con isto:
- Os tres problemas clásicos.
- 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, por Heinrich Dörrie, páxinas 170-172.
- The History of Mathematics, por David Burton, páxinas 124 a 126.