martes, 19 de xullo de 2022

Triángulo isóscele dadas a altura e a suma de dous lados

Lendo o último número (volume 25, número 2, 2022) de La Gaceta da Real Sociedad Matemática Española, atopo unha construción con regra e compás que me apetece elaborar e compartir. Xa noutra ocasión La Gaceta me servira de inspiración.

Nesta ocasión, a regra e o compás aparecen nun artigo de Edgar Labarga Varona sobre a escola de análise armónica da Universidade de Chicago, onde no s. XX destacaron enormemente Antoni S. Zygmund e Alberto P. Calderón.

Labarga cita ao propio Calderón para expoñer unha anécdota de cando este estaba no internado suizo Montana Knabeninstitut: <<Habiendo yo recién ingresado al ciclo secundario, tenía entonces un poco más de doce años de edad, cometí, en cierta oportunidad, una travesura en presencia de mi profesor de matemática. Este se acercó y me anunció que sería sometido a una medida disciplinaria por razón de mi conducta. Luego se alejó, pero a poco volvió sobre sus pasos y acercándose nuevamente dijo: "Oye, te voy a dar un problema de geometría. Si eres capaz de resolverlo tu conducta será perdonada.">>.

O problema era o seguinte: construír con regra e compás un triángulo isóscele do cal se coñece a altura e mais a suma da base e un dos lados restantes.

A chave da construción está en comezar cunha base $A'B'$ de medida a suma dada, xa que o triángulo $A'B'C$, tamén isóscele, ten a mesma altura que o triángulo buscado $ABC$. E despois hai que determinar o vértice $A$, que xace sobre o segmento $A'B'$ de tal xeito que a súa distancia a $C$ sexa o dobre da súa distancia a $A'$.

Na demostración xoga un papel destacado o teorema da bisectriz, que asegura que nun triángulo, a razón entre dous lados é igual á razón das partes nas cales qeuda dividio o terceiro lado pola bisectriz do ángulo oposto. É un resultado interesante, xa que se pode aplicar tanto coa bisectriz interior coma coa bisectriz exterior.

 Accede á aplicación GeoGebra 

Relacionado con isto:

domingo, 24 de abril de 2022

Circunferencia moi tanxente

A entrada de hoxe tomeina do blog Matemáticas Educativas. Vin alí unha construción que me gustou, e simplemente dediqueime a reconstruíla á miña maneira, así que para el a miña gratitude e todo o recoñecemento.

Este problema enmárcase dentro dos wasan, unhas matemáticas xaponesas que se desenvolveron na illa en anos con nulas influencias do exterior. Nelas podemos atopar os coñecidos Sangaku, problemas xeométricos escritos sobre táboas, das que a construción desta entrada é un bo exemplo.

O problema é o seguinte: sexan dúas circunferencias de igual raio, de tal xeito que o centro de cada unha pertence á outra. Constrúe unha circunferencia que sexa tanxente á recta $AB$, tanxente interior a unha das rectas e tanxente exterior á outra.

Sexan $AB=a$, $AE=x$, $EG=r$, sendo este último o raio da circunferencia buscada. Pode aplicarse o teorema de Pitágoras no triángulo rectángulo $BEG$, o cal nos asegura: 

$$(a+r)^2=r^2+(a+x)^2$$

Procedendo agora co mesmo teorema no triángulo rectángulo $AEG$, tense: 

$$(a-r)^2=r^2+x^2$$

Desenvolvendo as parénteses:

$$ a^2+2ar+r^2 = r^2+a^2+2ax+x^2 \quad \Rightarrow \quad 2ar=2ax+x^2 $$

$$ a^2-2ar+r^2 = r^2+x^2 \quad \Rightarrow \quad a^2-2ar=x^2 $$

Restando ambas as expresións, obtense que $4ar-a^2 = 2ax$, e dividindo entre $2a$ e reordenando chégase a que $x+\dfrac{a}{2}=2r$. Isto significa que o lado do cadrado $CDEF$ vén ser o diámetro da circunferencia buscada.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

mércores, 1 de decembro de 2021

Perpendicular ao diámetro por un punto da circunferencia

Coñecín esta historia grazas a Presh Tawalkar no blog Mind Your Decisions, e tamén a recolleron en The Guardian ou na páxina web do próximo ICM.

Mikhail Mishutin é o primeiro ministro de Rusia dende xaneiro do 2020. Hai unhas semanas, en setembro deste 2021, durante a típica visita dun político a unha escola o primeiro día do curso, propuxo aos escolares este problema: constrúe unha perpendicular dende o punto C da circunferencia sobre o diámetro AB, usando tan só a regra.

Mishutin é enxeñeiro de sistemas, e cre no valor do coñecemento científico. Entre os propósitos deste blog non está o de comentar esta frase que dirixiu ese día ao estudantado presente: <<por que tedes que facer na escola proxectos de negocio? Coñecementos fundamentais é o que se precisa>>, senón o de ofrecer a miña propia construción da solución ao problema.

 Accede á aplicación GeoGebra

 Relacionado con isto:


mércores, 1 de setembro de 2021

Recompilación de todas as entradas

É momento de volver traer ao blog unha recompilación que fixen de todas as entradas que fun compartindo aquí ao longo dos anos. Actualizada con todo o publicado até o día de hoxe, está en formato pdf, e ocupa 252 páxinas incluíndo portada, índice de contidos, limiar, índice alfabético e bibliografía, ademais da morea de construcións que os seguidores asiduos do blog xa coñecen.

Deste xeito, queda todo o blog condensado nunha soa obra de consulta. Para poder acceder ao pdf, pincha no seguinte enlace ou na imaxe:





Os cambios introducidos na versión 2 son:
  • Corrección de erratas.
  • Engadido o apartado sobre o pentadecágono regular sobre un lado dado.
  • Engadido o apartado sobre o pentadecágono regular nun círculo. 

Os cambios introducidos na versión 3 son:
  • Corrección de erratas.
  • Engadido o apartado sobre o cadrado dende a diagonal.
  • Engadido o apartado sobre a recta tanxente por un punto dunha cónica.
  • Engadido o apartado sobre o centro dunha cónica.
  • Engadido o apartado sobre a recta tanxente a unha cónica por un punto exterior.
  • Engadido o apartado sobre a cónica determinada por tres puntos.
  • Engadido o apartado sobre o método de Rytz para unha elipse.
  • Engadido o apartado sobre a bisecación un segmento usando só o compás (2). 
Os cambios introducidos na versión 4 son:
  • Entrada do cadrado tal que a súa área aproxima a de un círculo.
  • Entradas dos problemas para xudeus (1), (2), (3), (4) e (5).
  • Novo capítulo para a regra marcada.
  • Entrada da constante de tribonacci con regra marcada.
  • Entradas da trisección dun ángulo con regra marcada (1) e (2).
  • Entrada da raíz cúbica de 2 con regra marcada.
  • Entrada do heptágono regular con regra marcada (1) e (2).
  • Entrada de construíndo pi aproximado.
  • Entrada do eneágono regular con regra marcada.
  • Entrada do tridecágono regular con regra marcada.
  • Entrada dos polígonos regulares construíbles con regra marcada.
  • Entrada dos elementos da elipse.
  • Entrada dos elementos da hipérbola.
  • Cambios na entrada de polígonos regulares construíbles con regra e compás.
  • Cambios na entrada dos tres problemas clásicos.

domingo, 15 de agosto de 2021

Elementos da hipérbola

Nesta contrución pouco a pouco vanse obtendo os elementos dunha hipérbola, debuxada inicialmente coa ferramenta 'Cónica pasando por cinco puntos' que ofrece GeoGebra.

No paso 28 obtense o centro da hipérbola. No paso 36 temos un dos eixes, e no paso 42 o outro; xusto a continuación obtéñense os vértices. Até aí, a construción é totalmente equivalente á que fixeramos para a elipse. O que segue xa diverxe daquela, e para achar os focos vaise usar unha recta tanxente a un punto da hipérbola. Unha vez achados estes, a construción remata co trazado das asíntotas.

 Accede á aplicación GeoGebra

Obviamente, se moves os cinco puntos iniciais podes cambiar o tipo de cónica; este applet non está adaptado para eses casos. Ademais, ten coidado como sitúas os diferentes puntos, pois nalgúns casos pode non funcionar ben.

Relacionado con isto: