Teorema de Mohr-Mascheroni

O italiano Lorenzo Mascheroni publicou a demostración deste teorema en 1797, aínda que xa no século XX apareceu nunha tenda un libro do dinamarqués Georg Mohr, publicado con anterioridade en 1672, que tamén resolvía este problema.

O teorema di o seguinte:

Todas as construcións xeométricas resolubles mediante as normas clásicas

da regra e o compás, poden resolverse empregando tan só o compás.

O teorema non se pode demostrar dando unha construción alternativa só con compás para todas as construcións posibles con regra e compás, pois o número destas últimas non é finito. O que se pode facer é demostrar que as seguintes cinco construcións fundamentais si son posibles só con compás:

1. Debuxar unha recta que pase por dous puntos dados.
2. Debuxar unha circunferencia con centro dado que pasa por un punto dado.
3. Atopar os puntos de intersección de dúas circunferencias.
4. Atopar os puntos de intersección dunha recta e unha circunferencia.
5. Atopar os puntos de intersección de dúas rectas.

É obvio que a construción 1 non se pode realizar sen unha regra, así que o resultado de Mascheroni en realidade no cobre esa construción fundamental. Para eludir esta limitación podemos pensar que unha recta queda determinada coñeciendo dous dos seus puntos. As construcións 2 e 3 son claramente posibles só con compás, e a resolución só con compás das construcións 3 e 4 xa apareceu neste blog.

Inspirado polo sorprendente resultado de Mascheroni, o francés Jean-Victor Poncelet plantexouse se podería ser válido un resultado parecido sobre o uso da regra, e en 1822 enunciou unha conxectura que sería publicada en 1833 polo suízo Jakob Steiner, pasando a denominarse dende entón teorema de Poncelet-Steiner:

Todas as construcións xeométricas resolubles mediante as normas clásicas

da regra e o compás poden resolverse empregando só a regra 

máis a condición de coñecer un único círculo e o seu centro.

A conclusión que podemos extraer deste teorema é que todas as construcións poden realizarse só con regra... usando unha única vez o compás. A condición extra é indispensable, pois naquelas situacións nas cales unha circuferencia está dada pero non coñecemos o seu centro, este non se pode achar só coa regra.

Relacionado con isto:

• Teorema de Napoleón. Existe un teorema que involucra triángulos que ás veces se atribúe ao famoso emperador Napoleón, pero o seu verdadeiro autor probablemente foi Mascheroni. Este, coñecido de Napoleón e sabedor da afición do emperador poas matemáticas, dedicoulle o libro 'Geometría del Compasso' de 1797, no que resolveu o teorema do que falamos nesta entrada.
• What is Mathematics?, de Richard Courant e Herbert Robbins, do cal saquei a idea para esta entrada.
• Cadrado nun círculo só coa regra é a única construción dese tipo que tratamos neste blog. Usa un círculo dado, con centro coñecido, como datos de partida.