Elementos da hipérbola

Nesta contrución pouco a pouco vanse obtendo os elementos dunha hipérbola, debuxada inicialmente coa ferramenta 'Cónica pasando por cinco puntos' que ofrece GeoGebra.

No paso 28 obtense o centro da hipérbola. No paso 36 temos un dos eixes, e no paso 42 o outro; xusto a continuación obtéñense os vértices. Até aí, a construción é totalmente equivalente á que fixeramos para a elipse. O que segue xa diverxe daquela, e para achar os focos vaise usar unha recta tanxente a un punto da hipérbola. Unha vez achados estes, a construción remata co trazado das asíntotas.

 Accede á aplicación GeoGebra

Obviamente, se moves os cinco puntos iniciais podes cambiar o tipo de cónica; este applet non está adaptado para eses casos. Ademais, ten coidado como sitúas os diferentes puntos, pois nalgúns casos pode non funcionar ben.

Relacionado con isto:

• Recta tanxente por un punto dunha cónica.
  
• Elementos da elipse. 
• Centro dunha cónica.
• Cónica determinada por cinco puntos.
  
• Cónicas, por Agustín Carrillo e Manuel de León, ed. Los Libros de la Catarata.
• Apolonio e as cónicas.

Elementos da elipse

No último número da revista SUMA, o n.º 95, hai un artigo de Agustín Carrillo e Manuel de León dedicado ás cónicas e aos seus elementos. E foi ver unha construción con regra e compás e, claro, non poder resistirme a facela co GeoGebra e compartila no blog.

Pouco a pouco vanse obtendo os elementos da elipse, construída inicialmente coa ferramenta 'Cónica pasando por cinco puntos' que ofrece GeoGebra. 

No paso 28 obtense o centro da elipse. Xa Apolonio demostrara que os puntos medios de cordas paralelas determinan un diámetro na elipse ou na hipérbola, e o punto medio deste é por tanto o centro.

No paso 36 temos un dos eixes da elipse, e no paso 42 o outro. Ao final de todo chégase aos focos tras aplicar a definición de elipse: o lugar xeométrico dos puntos do plano tales que a suma das distancias a dous puntos fixos (os focos) é constante.

Accede á aplicación GeoGebra

Obviamente, se moves os cinco puntos iniciais podes cambiar o tipo de cónica; este applet non está adaptado para eses casos. Ademais, ten coidado como sitúas os diferentes puntos, pois nalgúns casos pode non funcionar ben.

Relacionado con isto:

• Centro dunha cónica. 
• Cónica determinada por cinco puntos.
  
• Cónicas, por Agustín Carrillo e Manuel de León, ed. Los Libros de la Catarata.
• Apolonio e as cónicas.
  

Centro dunha cónica

Cinco puntos determinan unha cónica (moi chulo este applet de Ignacio Larrosa). Nesta construción podes probar a mover os puntos $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ e verás que podes cambiar dun tipo de cónica a outro. Imos achar o centro desa cónica.

Primeiro trazamos as rectas tanxentes (*) que pasan por $P_1,P_2,P_3$, e fórmase o triángulo $Q_1,Q_2,Q_3$. Obtéñense os puntos medios $M_1,M_2,M_3$ dos lados dese triángulo para debuxar as súas medianas, que intersecan ao triángulo $P_1 P_2 P_3$ nos puntos $N_1,N_2,N_3$. Por último, os tres diámetros $P_1 N_1$, $P_2 N_2$ e $P_3 N_3$ córtanse no centro $O$ da cónica.

* Para facilitar a visualización da construción, as rectas tanxentes á cónica están debuxadas directamente, no canto de explicitar o seu trazado. Quen desexe consultar o procedemento pode consultalo aquí.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Na páxina web persoal de Ángel Montesdeoca hai unha morea de construcións relacionadas con cónicas, entre elas esta que presentamos hoxe. Moitas grazas por partillar, Ángel.
• Recta tanxente por un punto dunha cónica.