Recta tanxente por un punto dunha cónica

Enredando con outra construción relacionada con cónicas, nun dos pasos era necesario trazar a recta tanxente que pasa por un punto da cónica. Obviamente, se coñecemos os focos da cónica (e a directriz, no caso da parábola) é doado obter esa tanxente como a bisectriz do ángulo exterior que forman os radios vectores no punto (no caso da parábola usamos tamén a perpendicular á directriz).

Porén, cinco puntos determinan unha cónica (moi chulo este applet de Ignacio Larrosa). E nese caso a obtención de dita tanxente non é tan obvia. Navegando pola rede atopei unha fermosa explicación de Paul Kunkel que se basea no teorema de Pascal.

Este teorema asegura que se un hexágono arbitrario $ABCDEF$ está inscrito nunha cónica, e se estenden os pares de lados opostos ata cortarse, os tres puntos $J, K, L$ nos que se intersecan están aliñados, e dita recta é coñecida como a recta de Pascal.

Se achegamos o punto $F$ cara o punto $A$, a recta $AF$ achégase á recta tanxente que pasa por $A$. Deberiamos construír entón esa recta $AF$ no caso no cal $A$ e $F$ son coincidentes, pero resulta que dita líña $AF$ non é necesaria para construír o punto $L$, que é a intersección de $CD$ e a recta de Pascal $JK$. E así podemos trazar a tanxente buscada como a recta $AL$.

Unha curiosidade desta entrada é que se trata, de feito, dunha construción que se pode realizar empregando tan só a regra. Podemos facer descansar ao compás.

E estade atentos á próxima entrada, pois nela faremos un uso non explícito da construcción do día de hoxe.

Nota: por comodidade, no applet úsanse como puntos $A,B,C,D,E$ os cinco puntos que determinan a cónica.

 

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Whistler Alley, a páxina web de Paul Kunkel de onde obtiven esta construción.