Simetría de doce eixos

Coa entrada de hoxe rematamos a nosa serie de simetrías extraídas do libro Drawing Circle Images. Foron once construcións que, se been son bastante doadas, resultan especialmente fermosas debido ás simetrías que presentan. Coloreadas cun poco de arte e sensibilidade poden ser figuras de gran beleza

Nesta derradeira construción do libro dividimos o círculo inicial en doce partes iguais e, a partir deses puntos e como xa é habitual, debuxamos uns cantos círculos que nos levan ao noso fermoso resultado.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dodecágono regular nun círculo.

Simetría de once eixos

Inscrito nun círculo e coas normas clásicas da regra e o compás, non podemos debuxar un heptágono regular, nin un eneágono regular... nin tampouco un endecágono regular. Na nosa última entrada diciamos cando era posible, aínda que queda pendente o profundizar un pouco sobre isto. Mentres tanto, en Gaussianos explícano moi ben.

Na construción de hoxe é xusto o endecágono regular o que nos proporcionaría os once puntos necesarios para elaborar a simetría de once eixos, pero teremos que quedar cunha aproximación que xa traeramos ao blog hai máis de dous aos. Despois, outros tantos círculos, uns cantos arcos... e listo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Simetría nónupla.
• Endecágono aproximado nun círculo.

Simetría nónupla

A simetría de hoxe require dividir o círculo inicial en nove partes iguais, como se quixesemos construír un eneágono regular inscrito nela.

Pois ben, coas normas clásicas para as construcións con regra e compás, ese eneágono non se pode conseguir. Nesta entrada do fantástico blog que é Gaussianos profundizan un chisco máis en todo isto (como dixemos hai pouco aquí mesmo, na entrada da simetría séptupla, tampouco é construíble o heptágono regular inscrito nun círculo).

Recordemos que, en xeral, un polígono regular é construíble se e só se o número de lados do mesmo é unha potencia de 2, un primo de Fermat ou un produto de certa potencia de 2 e varios primos de Fermat distintos. Unha das implicacións foi demostrada por Gauss, a outra por Pierre Wantzel. 

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con esto:

• Eneágono aproximado en un círculo.

Simetría décupla

E seguimos sacándolle partido ao libro Drawing Circle Images. Dez eixos ten esta simetría. Até o paso 15 dividimos o círculo en cinco partes iguais, como si quixeramos debuxar un pentágono regular inscrito no círculo de partida. Os pasos siguientes lévannos a partir pola metade cada unha desas partes, e xa temos a división en 10 partes.

Por último, debuxamos uns cantos círculos para construír a figura final, fermosa coma sempre. Especialmente bonito queda o interior do círculo inicial, con todos os demais círculos intersecándose.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Pentágono regular nun círculo.
• Decágono regular nun círculo.
• Simetría quíntupla.

Simetría óctupla

Dubidabas se habería unha simétria óctupla? Pois aquí está, cos seus oito eixos de simetría. Cos seus primeiros pasos para dividir o círculo en oito partes iguais. Coa súa harmónica beleza.

En realidade, o que facemos é dividir primeiro o círculo en catro partes, e a continuación volver dividir pola metade cada parte. E despois, directos a polos arcos de circunferencia que proporcionan tan bonito resultado.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Octógono regular nun círculo.
• Simetría cuádrupla.

Simetría séptupla

Como comentamos noutras ocasións neste mesmo blog, Pierre Wantzel demostrou a imposibilidade de construír algúns problemas xeométricos usando as normas clásicas da regra e o compás. Entre eles, a construción dun heptágono regular inscrito nun círculo.

Ese debería ser o punto de partida para a construción de hoxe, pero ante a súa imposibilidade utilizamos esta outra construción, que publicamos hai tempo, que nos permite obtener un heptágono aproximado. Isto ocúpanos os 12 primeros pasos, quedando os restantes xa para debuxar rapidamente as simetrías.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Heptágono aproximado nun círculo (II).
• Heptágono aproximado nun círculo (I).

Simetría séxtupla (II)

Ao igual que na nosa anterior entrada, traemos hoxe unha simetría séxtupla. Mesmo inicio que entón, dividindo o círculo inicial en seis partes iguais como fariamos para debuxar un hexágono regular.

Hai algunahs diferenzas entre unha e outra, claro, basicamente usamos algúns círculos diferentes e, noutros que si son os mesmos quedamos con arcos diferentes.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Simetría séxtupla (I).
• Hexágono regular nun círculo.

Simetría séxtupla (I)

Seguimos coas simetrías sacadas de Drawing Circle Images, e imos aumentando o número de simetrías que teñen as figuras obtidas.

Neste caso comezamos dividindo o círculo inicial en seis partes iguais, como fixemos hai pouco para a simetría tripla, e como fariamos para debuxar un hexágono regular. Trazamos uns cantos arcos de circunferencia, e listo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Simetría tripla.
• Hexágono regular nun círculo.

Simetría quíntupla

Chega unha nova simetría sacada de Drawing Circle Images. A maior complicación desta construción é dividir o círculo inicial en 5 partes iguais, o cal nos ocupa até o paso 16. É o mesmo procedemento que nos permite debuxar un pentágono regular nun círculo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Pentágono regular nun círculo.
• Simetría tripla.
• Simetría cuádrupla.

Simetría cuádrupla

Presentamos aquí a segunda das simetrías do libro Drawing Circle Images, neste caso trátase dunha simetría cuádrupla que se obtén de xeito moi semellante á simetría tripla que viamos na entrada anterior.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Simetría tripla.

Simetría tripla

Hai non moito adquirín o libro Drawing Circle Images, e aínda que estivo unha época acantoado nunha balda, intentarei sacar algo de tempo para, con el, retomar este blog e sacalo do inmerecido abandono no que o teño.

O libro é miás ben curto, e dedícase a presentar os pasos para facer unhas cantas simetrías partindo dun círculo. Cun pouco de arte poden colorearse e quedar moi chulas, como se pode ver na propia portada do libro:

Así que comezo unha serie de simetrías con esta entrada, en concreto trátase dunha simetría tripla.

Accede á aplicación GeoGebra