Duplicar un cadrado (2)

Hai un bo feixe de anos, case unha década, publicara unha construción da duplicación dun cadrado. Naquela, ambos os cadrados teñen a mesma orientación, comparten un vértice e del parten dous lados que están sobre a mesma recta nos dous cadrados, simplemente no duplicado son máis longos tal e como se ve na seguinte imaxe (ou na propia construción, se premes na ligazón do principio).

A construción que traio hoxe chega ao cadrado duplicado por outro camiño, o resultado é que ambos os cadrados comparten centro pero o duplicado aparece xirado 45º. O método consiste en dividir o cadrado orixinal en 4 triángulos isóscele iguais e, a continuación, obter o simétrico de cada un deles respecto de cadanseu lado do cadrado inicial. Resulta obvio, por construción, que o cadrado obtido ten o dobre de área que o orixinal, e tamén está claro que se tomamos o cadrado orixinal de lado a unidade, o cadrado duplicado ten como lado $\sqrt{2}$, xa que coincide coa diagonal do primeiro cadrado.

Por outro lado, temos que os vértices do cadrado inicial veñen ser os puntos medios dos lados do cadrado duplicado, o cal redunda nunha figura con moita simetría e dotada dunha gran beleza.

Accede á aplicación GeoGebra

Hai ben tempo que coñecía esta construción, pero nunca me dera por compartila no blog. Foi lendo A longa marcha da xeometría, do meu ex-profesor Xosé Masa, que me entraron ganas de acudir a este espazo para deixar constancia dela. Trátase, de feito, dunha das pasaxes máis coñecidas do Menón, un dos diálogos de Platón, onde este pon en boca de Sócrates esta cuestión, quen mediante preguntas sinxelas guía a un neno escravo na busca desta solución.

Relacionado con isto:

• Duplicar un cadrado (1)

Tridecágono regular con regra marcada

Dun tempo a esta parte neste blog estamos prestando certa atención á regra marcada. Hai pouco falabamos de cales son os polígonos regulares construíbles deste xeito, e que non o son mediante as normas clásicas da regra e do compás. Así que hoxe lanzámonos a construír o tridecágono (tamén coñecido como triskaidecágono).

A base desta entrada susténtase neste artigo de Andrew Gleason e mais nun gif moi chulo da Wikipedia.

Algúns comentarios sobre a construción:

• Nos pasos do 3 ao 9 divídese o segmento $OA$ en 12 partes iguais (aproveito para recordar a entrada dedicada no seu día a tal procedemento). Supoñemos que o raio do círculo inicial mide 12 unidades, e así facemos corresponder cada unha desas partes cunha unidade enteira $B_1, \dots, B_{12}$.
  
• No paso 26 obtense o punto $D$. Co teorema de Pitágoras é fácil comprobar que a distancia até o centro $O$ é $\sqrt{13}$. Esa distancia úsase depois para obter os puntos $P$ a distancia $\sqrt{13}-1$, $Q$ a distancia $5-\sqrt{13}$ e $R$ a distancia $7+\sqrt{13}$.
  
• No paso 44 obtéñense os puntos $K,L$. Os triángulos $QRK$ e $QRL$ resultan ser equiláteros de lado $2+2\sqrt{13}$, polo cal tanto $K$ coma $L$ distan $\sqrt{3}\cdot (\sqrt{13}+1)$ do punto $B_6$.
• Nos pasos do 48 ao 52 aparece o uso da regra marcada para trisecar o ángulo $\angle LPK$, tal e como contamos nestoutra entrada do blog.
• No paso 56 trázase a recta que pasa polos puntos $W,Z$, será a que proporcione dous vértices do tridecágono na súa intersección coa circunferencia inicial. Pois ben, tal parece que corta á recta $OA$ no punto $R$... pero resulta que non. Segundo Gleason, a perpendicular por $R$ estaría tan cercana a esa recta que o punto no cal corta á circunferencia inicial distaría tan só a doce minutos de arco do vértice que nos proporciona a recta que pasa por $W$ e $Z$.
  

 

 Accede á aplicación GeoGebra

 

 

Relacionado con isto:

• División dun segmento en partes iguais.
• Trisección dun ángulo con regra marcada (II).
• Angle trisection, the heptagon and the triskaidecagon, por Andrew Gleason.
  

Polígonos regulares construíbles con regra marcada

Neste mesmo blog xa falamos no seu día de cales son os polígonos regulares construíbles coas normas clásicas da regra e o compás. Recordemos o resultado ao respecto, que debemos a Gauss e a Pierre Wantzel:

 

Un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas da regra e o
compás se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k$$

, sendo r un enteiro non negativo e os factores $p_i$ primos de Fermat distintos entre si.

 

A día de hoxe, os únicos primos de Fermat coñecidos son 3, 5, 17, 257 e 65537. E recordemos que un primo de Fermat é un número primo da forma ${2}^{{2}^{n}}+1$. Son construíbles, pois, os polígonos regulares de 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17... lados.

Ultimamente dedicamos varias entradas a construcións realizadas cunha regra marcada, que é simplemente unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Dese xeito é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.

 

Resulta natural preguntarse que sucede con esta nova condición. Son todos os polígonos regulares construíbles se permitimos o uso da regra marcada? Acudimos ao teorema de Pierpont, que di:

 

Un polígono regular de n lados é construíble coa regra marcada se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k$$

, sendo a, b enteiros non negativos e os factores $p_i$ primos de Pierpont distintos entre si.

 

As similitudes co resultado de Gauss-Wantzel e cos primos de Fermat son claras, e os primos de Pierpont son da forma $2^k\cdot 3^l+1$, constituíndo a sucesión 2, 3, 5, 7, 13, 17...

En consecuencia, polígonos regulares que non son construíbles coas normas clásicas da regra e o compás si o son coa regra marcada (algún xa pasou por este blog, de feito), coma os que teñen 7, 9, 13, 14, 18, 19... lados.

 

Isto deixa o endecágono, de 11 lados, como o polígono regular con menos lados que non aparece nin nunha listaxe nin na outra. Non é nin múltiplo de 2, nin de 3, nin un primo de Pierpont, e por tanto non sería construíble coa regra marcada.

Porén, no ano 2014 Elliot Benjamin e Chip Snyder demostraron a existencia dunha construción para o endecágono empregando a regra marcada e o compás. Segundo entendo, a chave do asunto reside en que o resultado de Pierpont asume que a regra marcada permite obter puntos como intersección de dúas rectas. Por outra banda, nas normas clásicas da regra e o compás permítese a intersección entre dúas rectas, unha recta e unha circunferencia ou ben dúas circunferencias, así que Benjamin e Snyder para a súa demostración optaron por permitir os casos de dúas rectas e mais dunha recta e unha circunferencia, usando para iso o termo regra marcada restrinxida. A diferenza está, pois, nas hipóteses de partida.

Relacionado con isto:

• On an undemostrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticae, por James Pierpont.
• Geometric constructions, por George E. Martin. 
• Angle trisection, the heptagon and the triskaidecagon, por Andrew M. Gleason. 
• On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass, por Elliot Benjamin e Chip Snyder.
  
• Polígonos regulares construíbles con regra e compás. 
• Heptágono regular con regra marcada (I). 
• Heptágono regular con regra marcada (II). 
• Eneágono regular con regra marcada.
  

Eneágono regular con regra marcada

Hai pouco recordabamos que coas normas clásicas non todos os polígonos regulares son construíbles con regra e compás. E mostramos que con tan só permitir o uso dunha regra marcada, si se pode construír un heptágono regular. 

Recordemos que unha regra marcada é, simplemente, unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Con isto é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles, como por exemplo a de hoxe: o eneágono regular.

Accede á aplicación GeoGebra

A construción baséase na trisección do ángulo, mediante o método de Arquímedes que xa vimos aquí mesmo. Basicamente, no paso 6 os puntos $A,D,B,C$ serían vértices dun hexágono regular, polígono que conta cun ángulo central de 60º. Como no caso do eneágono regular dito ángulo central é de 40º, o que se procede a facer é trisecar o ángulo $\angle BOC$, obtendo o punto $G$ sobre a circunferencia de tal xeito que $GC$ é o lado do eneágono buscado.

Relacionado con isto:

• Polígonos regulares construíbles con regra e compás.
  
• Eneágono regular aproximado nun círculo.
• Trisección dun ángulo con regra marcada (I). 
• The Book of Numers, por John H. Conway e Richard K. Guy.
  

Heptágono regular con regra marcada (II)

Tras un primeiro achegamento á construción do heptágono regular cunha regra marcada, nesta entrada retomamos o mesmo tema pero cambiamos de método. Se entón mostrabamos o de Crockett Johnson, hoxe traemos o de François Viète, publicado en 1593 no seu Supplementum Geometriae.

Accede á aplicación GeoGebra

Como observacións de interese, resulta que $OF=\frac{OB}{3}$, e sobre todo que o uso da regra marcada (no paso 11) é exactamente o método de Arquímedes para a obtención da trisección dun ángulo, con $\angle BHD=\frac{\angle BFD}{3}$.

Relacionado con isto:

• Heptágono regular con regra marcada (I).
• Heptágono aproximado nun círculo (I). 
• Heptágono aproximado nun círculo (II).
• Trisección dun ángulo con regra marcada (I).
  
• Suplementum Geometriae, por François Viète. 
• Tales of Impossibility, por David S. Richeson, páxinas 154-156. 
  

Heptágono regular con regra marcada (I)

Xa temos explicado aquí cales de entre os polígonos regulares son construíbles con regra e compás e cales non. Basicamente, un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas se e só se n pode descompoñerse da forma $n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k $, onde $r>0$ e os factores $p_t$ son primos de Fermat distintos entre si.

Ese resultado que debemos a Gauss e a Pierre Wantzel asegura que, por exemplo, até n = 10  son construíbles todos os polígonos regulares agás o heptágono (n = 7) e o eneágono (n = 9).

Porén, se ampiamos as restricións permitidas si podemos realizar construcións que doutro xeito non somos capaces. É o caso da regra marcada, que xa vimos mostrando nas últimas entradas. Pois ben, esta técnica posibilita a obtención do heptágono regular partindo dun lado dado.

Accede á aplicación GeoGebra

Esta construción debémoslla a Crockett Johnson, quen a publicou en 1975. Johnson non tivo unha formación formal en matemáticas, era máis ben un ilustrador, pero si tiña certa fascinación con esa ciencia, e acabou por crear máis de 100 cadros inspirados nas matemáticas.

Aquí pode verse a demostración de que o ángulo $\angle AIB$ mide $\frac{\pi}{7}$, que é a metade do ángulo central do heptágono regular. O uso da regra marcada aparece no paso 11, onde $HI$ se constrúe apoiando a regra no punto $A$ e con igual lonxitude que $AB$.

Relacionado con isto:

• A Construction for a Regular Heptagon, por Crockett Johnson.
• O heptágono regular, en Wolfram MathWorld.
• Heptágono aproximado sobre un lado dado.
• Tales of Impossibility, por David S. Richeson, páxinas 157-159.
  

Pentadecágono regular nun círculo

Como ben sabemos grazas ao traballo de Gauss e mais de Pierre Wantzel, o pentadecágono regular é un dos polígonos regulares que si é construíble con regra e compás, pois cos seus 15 lados é o produto de dous primos de Fermat xa que $15 = 3\cdot 5$.

A construción que podes ver aquí é a mesma que atopei na Wikipedia. É similar á que daba Euclides en Os elementos, na proposición XVI do libro IV (ver páxinas 73 e 74 deste enlace).

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Polígonos regulares construíbles con regra e compás.

Pentadecágono regular sobre un lado dado

Este blog está a piques de acadar as 200 entradas, e en todo este tempo nunca presentara a construción dun pentadecágono (polígono de 15 lados). Isto provocaba en min certa intranquilidade, unha desazón que vai desparacer tan pronto se publique na rede esta nova entrada.

Como ben sabemos grazas ao traballo de Gauss e mais de Pierre Wantzel, o pentadecágono regular é un dos polígonos regulares que si é construíble con regra e compás, pois cos seus 15 lados é o produto de dous primos de Fermat xa que $15 = 3\cdot 5$.

A construción que podes ver aquí é a mesma que atopei na Wikipedia. É bastante semellante á do pentágono regular que xa tratamos no seu día, e usa unha extensión do segmento orixinal AB que xera un segmento DB que queda dividido segundo a razón áurea:

$$ \frac{AB}{AD}=\frac{BD}{AB}=\phi $$ 

Por último quero facer unha aclaración: no paso 6 constrúese unha recta perpendicular a AB pasando por A, un dos seus extremos. Non é un paso inmediato, pero para non prolongar en exceso a construción decidín debuxala directamente. En realidade habería que seguir os pasos intermedios que no seu día explicamos aquí.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Polígonos regulares construíbles con regra e compás.
• Pentágono regular sobre un lado dado.
• Recta perpendicular ao final dun segmento dado.

Xeometrografía

Este blog tivo un par de anos de actividade frecuente, e logo un tempo no cal só colguei entradas novas de forma ocasional. Recoñezo que na actualidade o seu estado roza o abandono, aínda que por outra parte foron moitas as horas de entretemento que me proporcionou.

Pero a Edición 7.6 do Carnaval de Matemáticas está dedicada á regra e o compás, así que un blog coma este que os ten por tema central tiña que participar si ou si. Estou falto de ideas para o blog, o que me leva a -con algo de rubor- traer para a ocasión esta revisión dunha entrada algo antiga. Así que imos aó:

Esta entrada participa na Edición 7.6 do Carnaval de Matemáticas, que nesta ocasión organiza Gaussianos.

A xeometrografía estuda a complexidade das construcións con regra e compás. Pretende establecer criterios que permitan comparar a sinxeleza de diferentes construcións xeométricas que cheguen a un mesmo resultado final. Unha medida cuantitativa da sinxeleza dunha construción xeométrica foi creada en 1907 por Emile Lemoine. Considéranse as operacións seguintes:

$S_1$: colocar a regra sobre un punto dado.

$S_2$: debuxar unha liña recta.
$C_1$: colocar o compás nun punto dado.

$C_2$: colocar o compás nun punto indeterminado de una liña.
$C_3$: debuxar unha circunferencia.

Se cada unha destas operacións se repite, respectivamente, $m_1, m_2, n_1, n_2, n_3$ veces nunha construción, entón ao número total de operacións $m_1+m_2+n_1+n_2+n_3$ chámaselle simplicidade da construción. Canto menor sexa este valor, máis eficiente será a construción.

A simplicidade dunha construción podería mellorarse, por exemplo, logrando describir de xeito sucesivo círculos que teñan un raio común ou un centro común, pois dese xeito non habería que recolocar o compás e non aumentarían $C_1$ nin $C_2$.

Tamén se poden definir outros coeficientes como o de exactitude, que é $m_1+n_1+n_2$, e denota o número de operacións "preparatorias" sobre os cales depende a exactitude da construción.

Para escribir esta entrada, baseime fundamentalmente no artigo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", publicado en 1991 por Duane DeTemple na revista The American Mathematical Monthly. Neste mesmo artigo, DeTemple ofrece construcións para o pentágono regular e para os polígonos regulares de 17, 257 e 65537 lados (os tres números son primos de Fermat). Por exemplo, a do pentágono tería unha simplicidade de 15.

No caso do heptadecágono, a súa construción tería simplicidade 45, mentres que a construción de Herbert W. Hamilton da que xa falamos no seu día tería simplicidade polo menos 53.

E para construír o polígono regular de 257 lados, xa estariamos a falar de simplicidade 566. Este número deixa ás claras a complexidade da construción práctica deste polígono, e por que hai pouco falamos del pero non mostramos dita construción. E é que un polígono de 257 lados é, a simple vista, indistinguible dun círculo.

E o propio DeTempe afirma que as construcións que describe teñen menor simplicidade que as súas "competidoras" e que son quizais case óptimas. "Quizais", porque segundo parece determinar se unha construción dada ten a simplicidade máis baixa posible é un problema aínda aberto.

Relacionado con esto:

• Construcción del polígono de 17 lados.
• El polígono de 257 lados.
• El polígono de 65537 lados. 

Polígono regular de 65537 lados

Tal e como contabamos hai poco, non todos os polígonos regulares son construíbles con regra e compás. Entre os que si o son temos o polígono regular de 65537 lados, número que, recordemos, é o primo de Fermat máis grande coñecido.

A diferenza do habitual, non imos traer aquí a construción deste polígono dada a súa extensión e dificultade, e ímonos limitar a contextualizalo.

Obviamente, un polígono cun número tan enorme de lados non somos capaces de distinguilo dun círculo de xeito visual. De feito, a diferenza do seu perímetro coa lonxitude da circunferencia circunscrita sitúase en torno ás milmillonésimas. Para este cálculo, podemos usar a seguinte fórmula para o perímetro dun polígono regular de n lados dado o seu raio:

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 

Así, sen máis que tomar como raio do polígono a unidade 1 (e será o mesmo raio para a circunferencia circunscrita), a diferenza entre ambos os perímetros é un número tal que a primeira cifra significativa é a milmillonésima.

A primeira construción explícita debémoslla a Johann Gustav Hermes, que a publica no ano 1894 en Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (traducido, algo así coma 'Noticias da Sociedade de Ciencias de Göttingen'). Podemos consultala aquí, entre as páxinas 170 e 186, no capítulo "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile" (traducido, 'sobre a división do círculo en 65537 partes iguais'). No orixinal alemán, claro.

Outro método, proposto por Duane DeTemple, involucra o uso de como moito 1332 círculos de Carlyle (certo tipo de círculos asociados a unha ecuación cuadrática particular). A súa demostración podemos atopala no artigo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions" (traducido, 'círculos de Carlyle e simplicidade de Lemoine en construcións de polígonos'), páxina 107, publicado no ano 1991 na revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcións que escapan notablamente dos obxectivos deste humilde blog.

Relacionado con isto:

• Polígonos regulares construíbles con regra e compás.
• Polígono regular de 257 lados.

Polígono de 257 lados

Tal e coma contabamos hai pouco, non todos os polígonos regulares son construíbles con regra e compás. Entre os que si o son temos o polígono regular de 257 lados, número que, recordemos, é o cuarto primo de Fermat coñecido.

A diferenza do habitual, non imos traer aquí a construción deste polígono dada a súa extensión e dificultade, e ímonos limitar a contextualizalo.  

Obviamente, un polígono cun número tan grande de lados non somos capaces de distinguilo dun círculo de xeito visual. De feito, a diferenza do seu perímetro coa lonxitude da circunferencia circunscrita sitúa se en torno ás dezmilésimas. Para este cálculo, podemos usar a seguinte fórmula para o perímetro dun polígono regular de n lados dado o seu raio: 

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 
 

Así, sen máis que tomar como raio do polígono a unidade 1 (e será o mesmo raio para a circunferencia circunscrita), a diferenza entre ambos os perímetros é un número tal que a primeira cifra significativa é a dezmilésima.

A primeira construción explícita debémoslla a Magnus Georg Paucker, que a publica no ano 1822 en Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (traducido, algo así coma 'Sesións anuais da Sociedade de Literatura e Arte de Kurland'). Podemos consultala aquí, páxina 188, no apartado "Dasregelmäßige Zweyhundersiebenundfunfzig-Eck im Kreise" (traducido, 'sobre a división do círculo en 65537 partes iguais'). No orixinal alemán, claro.

 

Pouco despois, en 1832, outra construción era publicada por Friedrich Julius Richelot en Journal für die reine und angewandte Mathematik (traducido, algo así coma 'Revista de Matemáticas Puras e Aplicadas'). Podemos consultala aquí, a partir da páxina 146, no capítulo "De resolutione algebraica aequationes $x^{257}=1$" (traducido, 'sobre a resolución da ecuación alxébrica $x^{257}=1$'). O orixinal está, neste caso, en latín.

Outro método, proposto por Duane DeTemple, involucra o uso de 150 círculos. A súa demostración podemos atopala no arttigo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", páxinas 104 a 107, publicado no ano 1991 na revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcións que escapan notablamente dos obxectivos deste humilde blog.

Relacionado con isto:

• Polígonos regulares construíbles con regra e compás.
• Polígono regular de 65537 lados. 

Polígonos regulares construíbles con regra e compás

Xa ía sendo hora de dedicar unha entrada a explicar que polígonos regulares son construíbles coas normas clásicas da regra e o compás. Neste blog vimos xa como construír os seguintes polígonos regulares, partindo dun lado dado (ou dito doutro xeito, partindo de dous puntos dados):

• Un triángulo equilátero.
• Un cadrado.
• Un pentágono regular.
• Un hexágono regular.
• Un octógono regular.
• Un decágono regular.
• Un dodecágono regular.

E os seguintes, inscritos nun círculo dado:

• Un hexadecágono regular. 
• Un heptadecágono regular.

 

Pero, que sucede con outros dos que non mostramos construcións? Poderase construír un polígono calquera? Pois ben, a resposta é que hai polígonos regulares que NON se poden construír coas normas clásicas da regra e o compás. Deles, o heptágono regular é o que ten menor número de lados. E o eneágono ou o endecágono tampouco o son. De feito, existe un resultado que nos permite determinar se un polígono regular é ou non é construíble:

Un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas da regra e o
compás se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k $$

, sendo $r>0$ e os factores $p_i$ primos de Fermat distintos entre si.

A día de hoxe, os únicos primos de Fermat coñecidos son 3, 5, 17, 257 e 65537. Recordemos que un primo de Fermat é un número primo da forma $ { 2 }^{ { 2 }^{ n } }+1 $. 

Así, podemos mostrar por que o heptágono regular e o eneágono regular non son construíbles, pero os demais polígonos regulares até 10 lados si o son:

$$ 3=2^{2^0}+1 \hspace{1.5cm} 4=2^2 \hspace{1.5cm} 5=2^{2^1}+1 \hspace{1.5cm} 6=2\cdot \left(2^{2^0}+1\right) $$

$$ 7\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 8=2^3 \hspace{1cm} 9=3^2\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 10=2\cdot \left(2^{2^1}+1 \right) $$

Este resultado debémosllo ao traballo de Gauss e de Pierre Wantzel. Gauss publicou a demostración da suficiencia da proposición no libro Disquisitiones arithmeticae, escrito en 1798. Podes vela aquí no orixinal en latín: é o artigo 365 que se atopa na páxina 662. Ou podes consultar aquí unha traducción ao castelán: é o artigo 365 que se atopa na páxina 470. Gauss sinalou tamén a necesidade da proposición, pero non a demostrou. Quen finalmente a probou foi Wantzel no 1837, nun artigo no que tamén demostrou a imposibilidade de dous dos problemas clásicos: a duplicación do cubo e a trisección do ángulo.

Porén, o que Gauss proporcionou é a demostración de que o heptadecágono é construíble, pero non propuxo unha construción propiamente dita. A que presentamos neste blog hai un tempo foi dada por Herbert W. Richmond en 1893. E, de feito, foi Johannes Erchinger quen propuxo a primeira construción, en 1825. E é que:

$$ 17=2^{2^2}+1 $$

 

O que Gauss fixo foi mostrar que as solucións de $x^p-1$, con $p$ primo, son expresións racionais de soucións de ecuacións tales que os seus graos son os divisores primos de $p-1$, e tales que os seus coeficientes son expresións racionais das solucións das ecuacións precedentes, que son resolubles por radicais. Cando $p$ é un primo da forma $2^{2^n}+1$, todas as ecuacións así consideradas son de grao 2, e en consecuencia as solucións de $x^p-1$ poden expresarse iterando operacións aritméticas e raíces cadradas. Dese xeito, son construíbles coa regra e o compás.

Para rematar, engadir que no caso de non ser construíble un polígono regular, podemos intentar trazar algunha aproximación, e por exemplo neste mesmo blog xa tratamos aproximacións bastante boas para o heptágono, o eneágono ou o endecágono regulares.

Relacionado con isto:

• A regra e o compás na xeometría clásica.
• Construcciones con regla y compás (III): Los polígonos regulares, do blog Gaussianos. 
• Sucesión formada polos números de lados de polígonos construíbles con regra e compás. 
• Crónicas matemáticas, de Antonio J. Durán.
  

Pentágono regular nun círculo só con compás

Esta construción débese a Michel Bataille, e é un novo exemplo relativo ao teorema de Mohr-Mascheroni, que asegura que toda construción con regra e compás pode facerse tamén empregando tan só o compás.

En 1833, ademais, Jakob Steiner demostrou tamén que toda construción con regra e compás pode facerse empregando tan só a regra, sempre e cando se parta dun círculo inicial dado.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Pentágono regular nun círculo.

Heptadecágono regular nun círculo

En 1801 Carl Friedrich Gauss publicou as súas Disquisitiones Arithmeticae, onde demostraba (1796) que calquera polígono regular cun número primo de Fermat (os únicos coñecidos son 3, 5, 17, 257 e 65537) de lados pode ser construído con regra e compás. Como consecuencia disto, tamén son construíbles os polígonos cun número de lados que sexa o produto de primos de Fermat distintos e unha potencia de 2, por exemplo $15=3\cdot 5$; $68=2^2\cdot 17$ ou $2570=2\cdot 5\cdot 257$.

A construción que hoxe presentamos do polígono de 17 lados, chamado heptadecágono, debémoslla a Herbert William Richmond (ano 1893).

Accede á aplicación GeoGebra

Decágono regular sobre un lado dado

Hoxe construímos un decágono regular sobre un lado, o cual comparte inicio coa construción dun pentágono regular sobre un lado dado, pero logo acaba sendo máis complicado de obter que ese outro.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Decágono regular nun círculo.
• Pentágono regular sobre un lado dado.

Pentágono regular arredor dun círculo

Seguindo coas nosas construcións do pentágono regular, na de hoxe faise máis presente que nunca a maior dificultade na obtención de proporcións respecto a outros polígonos regulares máis doados de conseguir.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Pentágono regular nun círculo.

Pentágono regular sobre unha diagonal dada

Como diciamos hai uns días, construír un pentágono regular é menos obvio matematicamente que outros polígonos regulares coma triángulos, cadrados, octógonos ou dodecágonos; as proporcións que se precisan son máis difíciles de obter.

Esta construción, xunto con outras que estamos vendo nesta serie dedicada aos pentágonos regulares, baséanse en aplicacións sinxelas da sección áurea. A construción de hoxe coincide nos seus primeiros pasos coa da nosa última entrada, pero logo segue o seu propio camiño.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Pentágono regular sobre un lado dado.

Pentágono regular sobre un lado dado

Construír un pentágono regular é menos obvio matematicamente que outros polígonos regulares coma triángulos, cadrados, octógonos ou dodecágonos; as proporcións que se precisan son máis difíciles de obter.

Esta construción do pentágono regular, xunto con outras que imos ver en próximas entradas, baséanse en aplicacións sinxelas da sección áurea.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Pentágono regular nun círculo.

Icoságono regular nun círculo

Na nosa última entrada construímos un decágono regular nun círculo, e fixémolo baseándonos nunha construción anterior, a do pentágono regular. Hoxe faremos o mesmo a partir do decágono, conseguindo un icoságono (ou isodecágono) regular. Por suposto, este é un procedemento que poderiamos repetir tantas veces como queiramos, duplicando en cada paso o número de lados do polígono regular obtido.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Pentágono regular nun círculo.
• Decágono regular nun círculo.

Decágono regular nun círculo

Para construír o decágono regular baseámonos na construción do pentágono regular que presentamos na nosa anterior entrada, e a partir dos vértices deste obtemos os do decágono buscado.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Pentágono regular nun círculo.