Centro dunha cónica

Cinco puntos determinan unha cónica (moi chulo este applet de Ignacio Larrosa). Nesta construción podes probar a mover os puntos $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ e verás que podes cambiar dun tipo de cónica a outro. Imos achar o centro desa cónica.

Primeiro trazamos as rectas tanxentes (*) que pasan por $P_1,P_2,P_3$, e fórmase o triángulo $Q_1,Q_2,Q_3$. Obtéñense os puntos medios $M_1,M_2,M_3$ dos lados dese triángulo para debuxar as súas medianas, que intersecan ao triángulo $P_1 P_2 P_3$ nos puntos $N_1,N_2,N_3$. Por último, os tres diámetros $P_1 N_1$, $P_2 N_2$ e $P_3 N_3$ córtanse no centro $O$ da cónica.

* Para facilitar a visualización da construción, as rectas tanxentes á cónica están debuxadas directamente, no canto de explicitar o seu trazado. Quen desexe consultar o procedemento pode consultalo aquí.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Na páxina web persoal de Ángel Montesdeoca hai unha morea de construcións relacionadas con cónicas, entre elas esta que presentamos hoxe. Moitas grazas por partillar, Ángel.
• Recta tanxente por un punto dunha cónica.

Inversión dun punto respecto dunha circunferencia

Unha nova construción chega a este blog mentres leo What is Mathematics, de Richard Courant e Herbert Robbins. Trátase da inversión dun punto respecto de unha circunferencia, que é unha transformación bixectiva e continua.

Esta inversión intercambia o interior e o exterior da circunferencia, e os seus únicos puntos invariantes son os da circunferencia. Ademais, non define ningunha imaxe para o centro O da circunferencia; se o punto P se achega a O, entón P' alónxase máis e máis no plano. Por isto último soe dicirse que o punto O corresponde, baixo a inversión, co punto do infinito.

Na construción con regra e compás atopamos dous casos diferentes, que están explicados dentro da construción GeoGebra. Un é directo, no outro atopamos un paso intermedio cun punto auxiliar.

Accede á aplicación GeoGebra

Entre as súas propiedades máis importantes atopamos as seguintes:

• Unha recta que pasa polo centro O é globalmente invariante.
• Transforma rectas en rectas.
• Transforma circunferencias en circunferencias.
• Conserva a medida dos ángulos, aínda que cambia o seu sentido.

E cabe notar, tamén, que esta construción é das que se poden llevar a cabo usando unicamente o compás; a regra é innecesaria.

Punto de Fermat

O punto de Fermat dun triángulo, tamén chamado punto de Torricelli, é un punto tal que a distancia total dende os tres vértices do triángulo ao punto é a mínima posible. O seu nome débese a que o problema foi achegado orixinalmente por Pierre de Fermat nunha carta privada para Evangelista Torricelli, que o resolveu.

Como podes comprobar, se os ángulos do triángulo son menores de 120º, o punto é interior ao triángulo. Se algún dos ángulos é maior, con esta construción obtense un punto exterior ao triángulo, pero neste caso o punto que verificaría a condición de distancia mínima sería o propio vértice do ángulo maior de 120º.

Accede á aplicación GeoGebra

Puntos nunha elipse

Corta un cono dun lado ao otro e a sección transversal plana será un círculo ou unha elipse, segundo o ángulo elixido ao cortar. Hoxe presentamos unha construción que permite atopar puntos sobre unha elipse de calquera proporción.

Accede á aplicación Geogebra

Recta paralela por un punto exterior (IV)

Hoxe vemos a cuarta e última forma de debuxar a recta paralela a unha dada pasando por un punto exterior a esta. De novo utilizaremos tres circunferencias, dúas delas do mesmo raio e a terceira cun distinto.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Recta paralela por un punto exterior.
• Recta paralela por un punto exterior (II).
• Recta paralela por un punto exterior (III).

Recta paralela por un punto exterior (III)

E unha nova maneira máis de construír a recta paralela a unha dada a través dun punto exterior a esta. Pero, ao contrario que nos dous métodos que xa presentamos, neste utilízanse tan só dúas circunferencias que son, ademais, de raios distintos.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Recta paralela por un punto exterior.
• Recta paralela por un punto exterior (II).

Recta paralela por un punto exterior (II)

Chega hoxe unha nova maneira de construír a recta paralela a unha dada pasando por un punto exterior a esta. Ao igual que o método que vimos na nosa última entrada, o de hoxe usa tamén tres circunferencias iguais de raio arbitrario -aínda que maior ou igual que a distancia do punto á recta dada-.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Recta paralela por un punto exterior.

Recta paralela por un punto exterior (I)

Nas últimas semanas estivemos traendo construcións de tanxentes, tanto rectas coma círculos. Hoxe imos abandonar esta serie para iniciar unha colección de paralelas.

Na xeometría euclídea as liñas rectas continúan infinitamente cara ambos os lados; as paralelas serán liñas rectas coas que nunca se atope. Por un punto dado existe unicamente una recta paralela á recta de partida. Non obstante, isto non é así en xeometrías non euclídeas como a esférica ou a hiperbólica.

Esta construción é moi sinxela, e utiliza unha circunferencia auxiliar de raio arbitrario maior ou igual que a distancia do punto P á recta.

Accede á aplicación GeoGebra

Recta perpendicular por un punto exterior a unha recta (II)

Rematamos hoxe coa nosa serie dedicada ao trazado de perpendiculares con outro procedemento para obter a perpendicular por un punto exterior a unha recta. As circunferencias empregadas son auxiliares, podes probar a modificar o punto azul e verás que aínda que ditas circunferencias cambien, a perpendicular buscada segue fixa.

Non obstante, podes conseguir situar o punto azul de xeito que non se consiga trazar a perpendicular con este método. Cal é a condición necesaria para que apareza a perpendicular?

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Recta perpendicular por un punto exterior a unha recta.

Recta perpendicular por un punto exterior a unha recta (I)

Enfrontamos as últimas construcións de rectas perpendiculares, serán trazadas agora pasando por un punto exterior a unha recta. As dúas circunferencias empregadas son completamente auxiliares, de feito podes probar a facer variar os puntos A e B sobre a recta e verás que ditas circunferencias varían, pero a perpendicular buscada permanece fixa.

Accede á aplicación GeoGebra

Recta perpendicular por un punto nunha recta (III)

Seguindo co trazado de rectas perpendiculares, imos ver unha nova maneira de construíla a partir dun punto. O chamativo deste método é que non utiliza a regra senón tan só o compás (salvo no trazado final da perpendicular buscada, claro).

Isto en realidade non é tan extraño, nin sequera novidoso, pois xa sucedía nunha entrada anterior. Porén, esta nova construción difire desa outra no feito de que non só utiliza unicamente o compás, senón que ademais todas as circunferencias involucradas no proceso teñen o mesmo raio.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Recta perpendicular por un punto nunha recta (I).
• Recta perpendicular por un punto nunha recta (II).

Recta perpendicular por un punto nunha recta (II)

Hoxe construiremos a recta perpendicular que pasa por un punto calquera dunha recta dada. É interesante notar que o punto O é un punto auxiliar do que non depende a construción. Se fixamos a recta e o punto dado P e facemos variar O, a perpendicular por P segue sendo a mesma; o único que varían neste caso son os puntos de intersección A e B.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Recta perpendicular por un punto en una recta (I).

Recta perpendicular por un punto nunha recta (I)

Nesta ocasión imos debuxar a recta perpendicular que pasa por un punto calquera dunha recta dada.

Accede á aplicación GeoGebra

É interesante tamén o feito de que as circunferencias que trazamos nos pasos 4 e 5 non é preciso debuxalas por completo, só necesitamos que sexan do mesmo raio e secantes. Sirva como exemplo a seguinte imaxe: