"Problema para xudeus" (5): dividir un segmento en partes iguais usando só a regra

Hai pouco achegabamos as dificultades que enfrontaban os estudantes xudeus cando querían acceder á Facultade de Matemáticas da Universidade de Moscú, aló polos anos 70.

Tanya Khovanova e Alexey Radul compartiron unha listaxe de problemas que se propoñían na proba oral ao estudantes xudeus. Todos tiñan un aquel que os facía especialmente difíciles, e algúns deles eran construcións con regra e compás, coma o problema 16 desa listaxe, que é o que traemos hoxe ao blog:

Dados dous segmentos paralelos, divide un deles

en seis partes iguais empregando só a regra.

Aínda que o problema da listaxe pide facer a división en seis partes, o método vale para calquera outra cantidade, e a construción está feita para calquera até oito. Trátase, ademais, dunha construción na cal só empregamos a regra, deixando descansar o compás; xa temos falado no blog sobre este tipo de construcións. No seu día xa trouxeramos ao blog esta mesma construción pero permitindo o uso do compás.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Problema para xudeus (1).
• Problema para xudeus (2).
• Problema para xudeus (3).
• Problema para xudeus (4).
  
• Alexandre Shen explicando a historia desta discriminación.
• Listaxe de "problemas para xudeus", por Tanya Khovanova e Alexey Radul.
• Teorema de Mohr-Mascheroni.
• Dividir un segmento en partes iguais, pero usando tamén o compás.
  

Bisecar un segmento usando só o compás (2)

Sempre estou á caza de construcións chulas para facer con GeoGebra e compartir no blog. Neste caso vou traer aquí unha que aparece no Amusements in Mathematics de Henry Ernest Dudeney. Trátase do problema 197, no cal formula unha cuestión con solución moi sinxeliña, como é achar o punto medio dun segmento, pero engadindo unha restrición. Cal? A de realizar a construción empregando tan só o compás e deixando a regra nun caixón. Non é precisamente a primeira construción de 'só compás' que aparece neste blog, baste comprobar a etiqueta correspondente.

Xa se compartiu no seu día a obtención dese punto medio de forma doada, cando buscabamos a recta perpendicular pasando polo punto medio do segmento. E de feito xa mostramos unha construción que permitía chegar ao punto medio do segmento empregando tan só o compás, baseada na inversión dun punto respecto a unha circunferencia.

A construción de hoxe dá unhas cantas voltas para chegar ao destino final, e o propio Dudeney admite que non é a solución máis sinxela. Pero pareceume interesante, e no camiño aparecen varios puntos de interese que tamén permitirían elaborar outras construcións de 'só compás'.

Accede á aplicación GeoGebra
 

Relacionado con isto:

• Amusements in Mathematics.
• Recta perpendicular bisector dun segmento dado.
• Bisecar un segmento usando só o compás.

Bisecar un segmento usando só o compás (1)

Na nosa última entrada viamos unha transformación no plano: a inversión dun punto respecto a unha circunferencia. Pois ben, nesta construción imos ver unha aplicación de dita inversión.

Imos bisecar un segmento, ou equivalentemente, achar o punto medio de dous puntos dados. E farémolo, ademais, empregando só o compás (proximamente neste mesmo blog chegará unha entrada dedicada en exclusiva a este aspecto).

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Inversión dun punto respecto a unha circunferencia.
• What is Mathematics?, de Richard Courant e Herbert Robbins, de onde saquei a presente construción.

Bisectores dentro dun rectángulo

Esta construción permite dividir o rectángulo de partida en catro rectángulos iguais tales que os seus lados miden a metade que no orixinal.

Accede á aplicación GeoGebra

Dividir un segmento coa sección áurea (IV)

Esta é a última das catro construcións relacionadas coa sección áurea que debemos a Kurt Hofstetter. Esta construción é, ademais, a base para outras que veremos máis adiante relacionadasco pentágono e o decágono.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento coa sección áurea.
• Dividir un segmento coa sección áurea (II).
• Dividir un segmento coa sección áurea (III).

Estender un segmento coa sección áurea

Esta construción débese a George Odom, nela os puntos A e B resultan ser os puntos medios de dous lados dun certo triángulo equilátero CEF. En 1983 a American Mathematical Monthly publicou esta construción como o problema E3007.

Accede á aplicación GeoGebra

Dividir un segmento coa sección áurea (III)

Coa de hoxe seguimos a nosa serie de construcións relacionadas coa sección áurea que debemos a Kurt Hofstetter. Até catro distintas veremos nas cales dividiremos un segmento con dita proporción.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento coa sección áurea.
• Dividir un segmento coa sección áurea (II).

Dividir un segmento coa sección áurea (II)

Coa de hoxe seguimos a nosa serie de construcións relacionadas coa sección áurea que debemos a Kurt Hofstetter. Até catro distintas veremos nas cales dividiremos un segmento con dita proporción.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento coa sección área.

Dividir un segmento coa sección áurea (I)

Coa de hoxe seguimos a nosa serie de construcións relacionadas coa sección áurea que debemos a Kurt Hofstetter. Até catro distintas veremos nas cales dividiremos un segmento con dita proporción.

Accede á aplicación GeoGebra

Sección áurea (II)

Como xa adiantaramos na nosa última entrada, adentrámonos nunha serie de construcións relacionadas coa sección áurea, parte das cales debemos a Kurt Hofstetter, entre elas a de hoxe.

Euclides referíase á sección áurea como "división en proporción extrema e media", pero grazas ao matemático do s. XVIII Martin Ohm empregamos a máis cómoda denominación de "sección áurea".

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Sección áurea (I).

Sección áurea (I)

Esta construción debémoslla a Kurt Hofstetter, ao igual que outras relacionadas coa sección áurea que veremos no blog en próximas entradas. Todas elas son bastante simples e amosan que facilmente podemos atopar con regra e compás lonxitudes en sección áurea.

Accede á aplicación GeoGebra

Oitava parte dun segmento

Hai un tempo aprendemos a dividir un segmento en partes iguais. Por suposto, podemos elixir dividilo en oito partes iguais, pero hoxe traemos unha maneira alternativa de facelo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento en partes iguais.

Décimosexta parte dun segmento

Hai un tempo aprendemos a dividir un segmento en partes iguais. Por suposto, podemos elixir dividilo en dezaseis partes iguais, pero hoxe traemos unha maneira alternativa de facelo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento en partes iguais.

Novena parte dun segmento

Hai un tempo aprendemos a dividir un segmento en partes iguais. Por suposto, podemos elixir dividilo en nove partes iguais, pero hoxe traemos unha maneira alternativa de facelo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento en partes iguais.

Dividir un segmento con razón 1 a raíz cadrada de 3

Esta construción usa o mesmo principio que esta outra xa vista pero nun contexto fixo no cal unha paralela non precisa ser debuxada.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento en partes iguais.

Dividir un segmento con razón 1 a raíz cadrada de 2

Esta construción usa o mesmo principio que esta outra xa vista pero nun contexto fixo no cal unha paralela non precisa ser debuxada.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento en partes iguais.

Sétima parte dun segmento

Hai pouco aprendemos a dividir un segmento en partes iguais. Por suposto, podemos elixir dividilo en sete partes iguais, pero hoxe traemos unha maneira alternativa de facelo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento en partes iguais.

Quinta parte dun segmento

Hai pouco aprendemos a dividir un segmento en partes iguais. Por suposto, podemos elixir dividilo en cinco partes iguais, pero hoxe traemos unha maneira alternativa de facelo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento en partes iguais.

Terceira parte dun segmento

Hai pouco aprendemos a dividir un segmento en partes iguais. Por suposto, podemos elixir dividilo en tres partes iguais, pero hoxe traemos unha maneira alternativa de facelo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Dividir un segmento en partes iguais.

Dividir un segmento segundo unha razón dada

Hoxe dividimos o segmento segundo unha proporción dada. Aínda que a construción por defecto emprega unha razón 7:3 podes cambiala ao teu xeito.

Accede á aplicación GeoGebra