Elementos da hipérbola

Nesta contrución pouco a pouco vanse obtendo os elementos dunha hipérbola, debuxada inicialmente coa ferramenta 'Cónica pasando por cinco puntos' que ofrece GeoGebra.

No paso 28 obtense o centro da hipérbola. No paso 36 temos un dos eixes, e no paso 42 o outro; xusto a continuación obtéñense os vértices. Até aí, a construción é totalmente equivalente á que fixeramos para a elipse. O que segue xa diverxe daquela, e para achar os focos vaise usar unha recta tanxente a un punto da hipérbola. Unha vez achados estes, a construción remata co trazado das asíntotas.

 Accede á aplicación GeoGebra

Obviamente, se moves os cinco puntos iniciais podes cambiar o tipo de cónica; este applet non está adaptado para eses casos. Ademais, ten coidado como sitúas os diferentes puntos, pois nalgúns casos pode non funcionar ben.

Relacionado con isto:

• Recta tanxente por un punto dunha cónica.
  
• Elementos da elipse. 
• Centro dunha cónica.
• Cónica determinada por cinco puntos.
  
• Cónicas, por Agustín Carrillo e Manuel de León, ed. Los Libros de la Catarata.
• Apolonio e as cónicas.

Elementos da elipse

No último número da revista SUMA, o n.º 95, hai un artigo de Agustín Carrillo e Manuel de León dedicado ás cónicas e aos seus elementos. E foi ver unha construción con regra e compás e, claro, non poder resistirme a facela co GeoGebra e compartila no blog.

Pouco a pouco vanse obtendo os elementos da elipse, construída inicialmente coa ferramenta 'Cónica pasando por cinco puntos' que ofrece GeoGebra. 

No paso 28 obtense o centro da elipse. Xa Apolonio demostrara que os puntos medios de cordas paralelas determinan un diámetro na elipse ou na hipérbola, e o punto medio deste é por tanto o centro.

No paso 36 temos un dos eixes da elipse, e no paso 42 o outro. Ao final de todo chégase aos focos tras aplicar a definición de elipse: o lugar xeométrico dos puntos do plano tales que a suma das distancias a dous puntos fixos (os focos) é constante.

Accede á aplicación GeoGebra

Obviamente, se moves os cinco puntos iniciais podes cambiar o tipo de cónica; este applet non está adaptado para eses casos. Ademais, ten coidado como sitúas os diferentes puntos, pois nalgúns casos pode non funcionar ben.

Relacionado con isto:

• Centro dunha cónica. 
• Cónica determinada por cinco puntos.
  
• Cónicas, por Agustín Carrillo e Manuel de León, ed. Los Libros de la Catarata.
• Apolonio e as cónicas.
  

Método de Rytz para unha elipse

A de hoxe é outra entrada dedicada ás cónicas. Presentamos o método de Rytz, un procedemento básico da xeometría descritiva que permite atopar os eixos e os vértices dunha elipse.

Os datos coñecidos de partida para poder aplicar a construción son o centro C e dous puntos P, Q da elipse situados sobre diámetros conxugados. Porén, a elipse inicial está debuxada con GeoGebra dados un punto da elipse e os seus focos, para poder cambiar a elipse usada de xeito independente á construción.

Os diámetros conxugados dunha elipse son cada par de diámetros da elipse que cumpre que un deles pasa polo centro de todas as cordas paralelas ao outro. GeoGebra xa ten incorporada unha ferramenta para, a partir dun diámetro dado, calcular o seu conxugado.

Fonte: recorte desta figura de Marinero Vakulinchuk publicada en Wikimedia Commons.

Ao longo da historia apareceron distintas solucións ao problema. Unha primeira construción que debémoslla a Pappus alá polo s. IV. Xa no s. XVIII, Frézier e Euler simplificaron o procedemento baseándose na rotación de 90º dun dos diámetros de partida. Por último, dende o 1845 é coñecido o procedemento que presentamos nesta entrada, que se atribúe ao matemático suízo David Rytz von Brugg.

Accede á construción GeoGebra

Referencia:

• Alexander Ostermann e Gerhard Wanner (2012). Geometry by its History. Springer, Berlin, pp. 68-69.

Cónica determinada por cinco puntos

Sigo debullando na extraordinaria páxina web de Ángel Montesdeoca, que contén máis de cen apartados dedicados á construción de cónicas. Sen dúbida, ben merece que lle botedes unha ollada... iso si, aviso que corredes o risco de acabar pasando alí unha manchea de horas.

Na xeometría euclídea cinco puntos diferentes determinan (de xeito único, se entende) unha cónica. Partamos pois de cinco puntos calquera no plano e debuxemos esa cónica, para o cal en realidade o que faremos é achar un sexto punto $P$ da cónica que, como pode ser calquera, iremos desprazando para trazar a cónica buscada.

A construción ten a súa base no teorema de Pascal:

Se un hexágono está inscrito nunha cónica, os tres puntos nos cales se intersecan

os lados opostos están sobre unha recta que chamamos a recta de Pascal.

O hexágono ao que fai mención o teorema é $ P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P $ formado polos cinco puntos iniciais máis un sexto punto $ P $. E os puntos $L,M,N$ (interseccións de cada dous lados opostos do hexágono) xacen os tres sobre a chamada recta de Pascal.

Para trazar finalmente a cónica co applet, hai que desprazar o punto auxiliar $X$ que fai mover a recta $r$. E un último comentario: esta construción pode realizarse empregando tan só a regra. Podemos novamente facer descansar ao compás.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• A páxina web na que Ángel Montesdeoca comparte as súas construcións de cónicas.
• Centro dunha cónica.

Recta tanxente a unha cónica por un punto exterior

Hoxe é o día internacional das matemáticas, e dende este blog quero sumarme á celebración e ofrecer unha pequena aportación no eido das construcións con regra e compás.

Hai pouco compartín no blog a construción da recta tanxente por un punto dunha cónica. Mentres lle daba voltas ao asunto ocorréuseme a mesma cuestión, pero sendo o punto exterior á cónica. Ao pouco, batín con ela aquí, na páxina web persoal de Ricardo Barroso. Ese documento que comparte Barroso é un enfoque práctico para as construcións con regra e compás no caso de termos tan só os cinco puntos que definen a cónica, pero non a cónica en si. Porén, a construción que aquí achegamos si que a considera coñecida.

Ao igual que no caso da tanxente por un punto da cónica, unha curiosidade desta construción é que de feito se pode realizar empregando tan só a regra. Podemos novamente facer descansar ao compás.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Recta tanxente por un punto dunha cónica.

Centro dunha cónica

Cinco puntos determinan unha cónica (moi chulo este applet de Ignacio Larrosa). Nesta construción podes probar a mover os puntos $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ e verás que podes cambiar dun tipo de cónica a outro. Imos achar o centro desa cónica.

Primeiro trazamos as rectas tanxentes (*) que pasan por $P_1,P_2,P_3$, e fórmase o triángulo $Q_1,Q_2,Q_3$. Obtéñense os puntos medios $M_1,M_2,M_3$ dos lados dese triángulo para debuxar as súas medianas, que intersecan ao triángulo $P_1 P_2 P_3$ nos puntos $N_1,N_2,N_3$. Por último, os tres diámetros $P_1 N_1$, $P_2 N_2$ e $P_3 N_3$ córtanse no centro $O$ da cónica.

* Para facilitar a visualización da construción, as rectas tanxentes á cónica están debuxadas directamente, no canto de explicitar o seu trazado. Quen desexe consultar o procedemento pode consultalo aquí.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Na páxina web persoal de Ángel Montesdeoca hai unha morea de construcións relacionadas con cónicas, entre elas esta que presentamos hoxe. Moitas grazas por partillar, Ángel.
• Recta tanxente por un punto dunha cónica.

Recta tanxente por un punto dunha cónica

Enredando con outra construción relacionada con cónicas, nun dos pasos era necesario trazar a recta tanxente que pasa por un punto da cónica. Obviamente, se coñecemos os focos da cónica (e a directriz, no caso da parábola) é doado obter esa tanxente como a bisectriz do ángulo exterior que forman os radios vectores no punto (no caso da parábola usamos tamén a perpendicular á directriz).

Porén, cinco puntos determinan unha cónica (moi chulo este applet de Ignacio Larrosa). E nese caso a obtención de dita tanxente non é tan obvia. Navegando pola rede atopei unha fermosa explicación de Paul Kunkel que se basea no teorema de Pascal.

Este teorema asegura que se un hexágono arbitrario $ABCDEF$ está inscrito nunha cónica, e se estenden os pares de lados opostos ata cortarse, os tres puntos $J, K, L$ nos que se intersecan están aliñados, e dita recta é coñecida como a recta de Pascal.

Se achegamos o punto $F$ cara o punto $A$, a recta $AF$ achégase á recta tanxente que pasa por $A$. Deberiamos construír entón esa recta $AF$ no caso no cal $A$ e $F$ son coincidentes, pero resulta que dita líña $AF$ non é necesaria para construír o punto $L$, que é a intersección de $CD$ e a recta de Pascal $JK$. E así podemos trazar a tanxente buscada como a recta $AL$.

Unha curiosidade desta entrada é que se trata, de feito, dunha construción que se pode realizar empregando tan só a regra. Podemos facer descansar ao compás.

E estade atentos á próxima entrada, pois nela faremos un uso non explícito da construcción do día de hoxe.

Nota: por comodidade, no applet úsanse como puntos $A,B,C,D,E$ os cinco puntos que determinan a cónica.

 

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Whistler Alley, a páxina web de Paul Kunkel de onde obtiven esta construción.

Parábola dadas a directriz e o foco

Unha entrada máis, e seguimos coa construción de cónicas empregando a regra e o compás. Hoxe é a quenda da parábola, e de novo faremos a construción de tal xeito que podemos chegar a tantos puntos como queiramos, formando parte todos eles da parábola. E aproveitando as virtudes do GeoGebra, de forma dinámica veremos aparecer a parábola mentres imos debuxando un bo feixe dos seus puntos.

E sen máis procedemos a compartir a construción, que xa contén os comentarios explicativos necesarios.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Páxina persoal de Ángel Montesdeoca,  na que podemos atopar moita información relacionada coa construción de cónicas.
• Elipse dados os seus semieixos. 
• Hipérbola dados os seus semieixos.

Hipérbola dados os seus semieixos

Seguiremos coa colección que iniciamos na entrada anterior, nin máis nin menos que a construción de cónicas. Hoxe imos coa hipérbola, e de novo faremos a construción de tal xeito que podemos chegar a tantos puntos como queiramos, formando parte todos eles da hipérbola. E aproveitando as virtudes do GeoGebra, de forma dinámica veremos aparecer a hipérbola mentres imos debuxando un bo feixe dos seus puntos.

E sen máis procedemos a compartir a construción, que xa contén os comentarios explicativos necesarios.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Páxina persoal de Ángel Montesdeoca,  na que podemos atopar moita información relacionada coa construción de cónicas.
• Elipse dados os seus semieixos.

Elipse dados os seus semieixos

Entre as (moitas) débedas pendentes deste blog está a de prestar atención ás cónicas. Así, a construción da elipse o que faremos é obter un punto da mesma. De igual xeito poderiamos chegar a tantos puntos como queiramos, formando parte todos eles da elipse. Aproveitando as virtudes do GeoGebra, isto último podemos facelo de forma dinámica, e veremos aparecer a elipse mentres imos debuxando un bo feixe dos seus puntos.

E sen máis procedemos a compartir a construción, que xa contén os comentarios explicativos necesarios.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Páxina persoal de Ángel Montesdeoca,  na que podemos atopar moita información relacionada coa construción de cónicas.

Puntos nunha elipse

Corta un cono dun lado ao otro e a sección transversal plana será un círculo ou unha elipse, segundo o ángulo elixido ao cortar. Hoxe presentamos unha construción que permite atopar puntos sobre unha elipse de calquera proporción.

Accede á aplicación Geogebra