Unha nova construción chega a este blog mentres leo What is Mathematics, de Richard Courant e Herbert Robbins. Trátase da inversión dun punto respecto de unha circunferencia, que é unha transformación bixectiva e continua.
Esta inversión intercambia o interior e o exterior da circunferencia, e os seus únicos puntos invariantes son os da circunferencia. Ademais, non define ningunha imaxe para o centro O da circunferencia; se o punto P se achega a O, entón P' alónxase máis e máis no plano. Por isto último soe dicirse que o punto O corresponde, baixo a inversión, co punto do infinito.
Na construción con regra e compás atopamos dous casos diferentes, que están explicados dentro da construción GeoGebra. Un é directo, no outro atopamos un paso intermedio cun punto auxiliar.
Entre as súas propiedades máis importantes atopamos as seguintes:
- Unha recta que pasa polo centro O é globalmente invariante.
- Transforma rectas en rectas.
- Transforma circunferencias en circunferencias.
- Conserva a medida dos ángulos, aínda que cambia o seu sentido.
E cabe notar, tamén, que esta construción é das que se poden llevar a cabo usando unicamente o compás; a regra é innecesaria.