Tridecágono regular con regra marcada

Dun tempo a esta parte neste blog estamos prestando certa atención á regra marcada. Hai pouco falabamos de cales son os polígonos regulares construíbles deste xeito, e que non o son mediante as normas clásicas da regra e do compás. Así que hoxe lanzámonos a construír o tridecágono (tamén coñecido como triskaidecágono).

A base desta entrada susténtase neste artigo de Andrew Gleason e mais nun gif moi chulo da Wikipedia.

Algúns comentarios sobre a construción:

• Nos pasos do 3 ao 9 divídese o segmento $OA$ en 12 partes iguais (aproveito para recordar a entrada dedicada no seu día a tal procedemento). Supoñemos que o raio do círculo inicial mide 12 unidades, e así facemos corresponder cada unha desas partes cunha unidade enteira $B_1, \dots, B_{12}$.
  
• No paso 26 obtense o punto $D$. Co teorema de Pitágoras é fácil comprobar que a distancia até o centro $O$ é $\sqrt{13}$. Esa distancia úsase depois para obter os puntos $P$ a distancia $\sqrt{13}-1$, $Q$ a distancia $5-\sqrt{13}$ e $R$ a distancia $7+\sqrt{13}$.
  
• No paso 44 obtéñense os puntos $K,L$. Os triángulos $QRK$ e $QRL$ resultan ser equiláteros de lado $2+2\sqrt{13}$, polo cal tanto $K$ coma $L$ distan $\sqrt{3}\cdot (\sqrt{13}+1)$ do punto $B_6$.
• Nos pasos do 48 ao 52 aparece o uso da regra marcada para trisecar o ángulo $\angle LPK$, tal e como contamos nestoutra entrada do blog.
• No paso 56 trázase a recta que pasa polos puntos $W,Z$, será a que proporcione dous vértices do tridecágono na súa intersección coa circunferencia inicial. Pois ben, tal parece que corta á recta $OA$ no punto $R$... pero resulta que non. Segundo Gleason, a perpendicular por $R$ estaría tan cercana a esa recta que o punto no cal corta á circunferencia inicial distaría tan só a doce minutos de arco do vértice que nos proporciona a recta que pasa por $W$ e $Z$.
  

 

 Accede á aplicación GeoGebra

 

 

Relacionado con isto:

• División dun segmento en partes iguais.
• Trisección dun ángulo con regra marcada (II).
• Angle trisection, the heptagon and the triskaidecagon, por Andrew Gleason.
  

Polígonos regulares construíbles con regra marcada

Neste mesmo blog xa falamos no seu día de cales son os polígonos regulares construíbles coas normas clásicas da regra e o compás. Recordemos o resultado ao respecto, que debemos a Gauss e a Pierre Wantzel:

 

Un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas da regra e o
compás se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k$$

, sendo r un enteiro non negativo e os factores $p_i$ primos de Fermat distintos entre si.

 

A día de hoxe, os únicos primos de Fermat coñecidos son 3, 5, 17, 257 e 65537. E recordemos que un primo de Fermat é un número primo da forma ${2}^{{2}^{n}}+1$. Son construíbles, pois, os polígonos regulares de 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17... lados.

Ultimamente dedicamos varias entradas a construcións realizadas cunha regra marcada, que é simplemente unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Dese xeito é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.

 

Resulta natural preguntarse que sucede con esta nova condición. Son todos os polígonos regulares construíbles se permitimos o uso da regra marcada? Acudimos ao teorema de Pierpont, que di:

 

Un polígono regular de n lados é construíble coa regra marcada se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k$$

, sendo a, b enteiros non negativos e os factores $p_i$ primos de Pierpont distintos entre si.

 

As similitudes co resultado de Gauss-Wantzel e cos primos de Fermat son claras, e os primos de Pierpont son da forma $2^k\cdot 3^l+1$, constituíndo a sucesión 2, 3, 5, 7, 13, 17...

En consecuencia, polígonos regulares que non son construíbles coas normas clásicas da regra e o compás si o son coa regra marcada (algún xa pasou por este blog, de feito), coma os que teñen 7, 9, 13, 14, 18, 19... lados.

 

Isto deixa o endecágono, de 11 lados, como o polígono regular con menos lados que non aparece nin nunha listaxe nin na outra. Non é nin múltiplo de 2, nin de 3, nin un primo de Pierpont, e por tanto non sería construíble coa regra marcada.

Porén, no ano 2014 Elliot Benjamin e Chip Snyder demostraron a existencia dunha construción para o endecágono empregando a regra marcada e o compás. Segundo entendo, a chave do asunto reside en que o resultado de Pierpont asume que a regra marcada permite obter puntos como intersección de dúas rectas. Por outra banda, nas normas clásicas da regra e o compás permítese a intersección entre dúas rectas, unha recta e unha circunferencia ou ben dúas circunferencias, así que Benjamin e Snyder para a súa demostración optaron por permitir os casos de dúas rectas e mais dunha recta e unha circunferencia, usando para iso o termo regra marcada restrinxida. A diferenza está, pois, nas hipóteses de partida.

Relacionado con isto:

• On an undemostrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticae, por James Pierpont.
• Geometric constructions, por George E. Martin. 
• Angle trisection, the heptagon and the triskaidecagon, por Andrew M. Gleason. 
• On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass, por Elliot Benjamin e Chip Snyder.
  
• Polígonos regulares construíbles con regra e compás. 
• Heptágono regular con regra marcada (I). 
• Heptágono regular con regra marcada (II). 
• Eneágono regular con regra marcada.
  

Eneágono regular con regra marcada

Hai pouco recordabamos que coas normas clásicas non todos os polígonos regulares son construíbles con regra e compás. E mostramos que con tan só permitir o uso dunha regra marcada, si se pode construír un heptágono regular. 

Recordemos que unha regra marcada é, simplemente, unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Con isto é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles, como por exemplo a de hoxe: o eneágono regular.

Accede á aplicación GeoGebra

A construción baséase na trisección do ángulo, mediante o método de Arquímedes que xa vimos aquí mesmo. Basicamente, no paso 6 os puntos $A,D,B,C$ serían vértices dun hexágono regular, polígono que conta cun ángulo central de 60º. Como no caso do eneágono regular dito ángulo central é de 40º, o que se procede a facer é trisecar o ángulo $\angle BOC$, obtendo o punto $G$ sobre a circunferencia de tal xeito que $GC$ é o lado do eneágono buscado.

Relacionado con isto:

• Polígonos regulares construíbles con regra e compás.
  
• Eneágono regular aproximado nun círculo.
• Trisección dun ángulo con regra marcada (I). 
• The Book of Numers, por John H. Conway e Richard K. Guy.
  

Heptágono regular con regra marcada (II)

Tras un primeiro achegamento á construción do heptágono regular cunha regra marcada, nesta entrada retomamos o mesmo tema pero cambiamos de método. Se entón mostrabamos o de Crockett Johnson, hoxe traemos o de François Viète, publicado en 1593 no seu Supplementum Geometriae.

Accede á aplicación GeoGebra

Como observacións de interese, resulta que $OF=\frac{OB}{3}$, e sobre todo que o uso da regra marcada (no paso 11) é exactamente o método de Arquímedes para a obtención da trisección dun ángulo, con $\angle BHD=\frac{\angle BFD}{3}$.

Relacionado con isto:

• Heptágono regular con regra marcada (I).
• Heptágono aproximado nun círculo (I). 
• Heptágono aproximado nun círculo (II).
• Trisección dun ángulo con regra marcada (I).
  
• Suplementum Geometriae, por François Viète. 
• Tales of Impossibility, por David S. Richeson, páxinas 154-156. 
  

Heptágono regular con regra marcada (I)

Xa temos explicado aquí cales de entre os polígonos regulares son construíbles con regra e compás e cales non. Basicamente, un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas se e só se n pode descompoñerse da forma $n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k $, onde $r>0$ e os factores $p_t$ son primos de Fermat distintos entre si.

Ese resultado que debemos a Gauss e a Pierre Wantzel asegura que, por exemplo, até n = 10  son construíbles todos os polígonos regulares agás o heptágono (n = 7) e o eneágono (n = 9).

Porén, se ampiamos as restricións permitidas si podemos realizar construcións que doutro xeito non somos capaces. É o caso da regra marcada, que xa vimos mostrando nas últimas entradas. Pois ben, esta técnica posibilita a obtención do heptágono regular partindo dun lado dado.

Accede á aplicación GeoGebra

Esta construción debémoslla a Crockett Johnson, quen a publicou en 1975. Johnson non tivo unha formación formal en matemáticas, era máis ben un ilustrador, pero si tiña certa fascinación con esa ciencia, e acabou por crear máis de 100 cadros inspirados nas matemáticas.

Aquí pode verse a demostración de que o ángulo $\angle AIB$ mide $\frac{\pi}{7}$, que é a metade do ángulo central do heptágono regular. O uso da regra marcada aparece no paso 11, onde $HI$ se constrúe apoiando a regra no punto $A$ e con igual lonxitude que $AB$.

Relacionado con isto:

• A Construction for a Regular Heptagon, por Crockett Johnson.
• O heptágono regular, en Wolfram MathWorld.
• Heptágono aproximado sobre un lado dado.
• Tales of Impossibility, por David S. Richeson, páxinas 157-159.
  

Duplicación do cubo con regra marcada

Xa temos falado da imposibilidade da duplicación do cubo coas normas clásicas da regra e o compás. Resumindo, resulta que se $k$ é o lado do cubo dado e $x$ o lado do cubo duplicado, o que se quere é que $x^3=2k^3$, ou equivalentemente $x=\sqrt[3]{2}\cdot k$. E resulta que o número $\sqrt[3]{2}$ non é construíble con regra e compás, xa que o seu polinomio mínimo sobre o corpo dos racionais ten grao 3, e só son construíbles aqueles que teñen como grao unha potencia de 2.

Non obstante, dito número si é construíble se un bota man da regra marcada. Por se pillamos a alguén con despiste, baste recordar que unha regra marcada é, simplemente unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. E co seu uso é posible trasladar dita medida a calquera lugar, obtendo elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.

Obter $\sqrt[3]{2}$ mediante esta técnica é doado, e será o que permita duplicar o cubo e por tanto rematar co mito grego.

Accede á aplicación GeoGebra

Procedamos coa demostración, sacada de 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their Historiy and Solution, de Heinrich Dörrie.

Por simplicidade, renomeamos os segmentos $AB=k$, $CE=x$ e $BF=y$. Aplicando o teorema do coseno no triángulo $ACF$:

$$\begin{array}{c}(x+k)^2=k^2+(y+k)^2-2\cdot k\cdot (y+k)\cdot \cos 60^{\circ}\\ \\ (x+k)^2-k^2 = (y+k)^2-k\cdot (y+k)\\ \\ (x+k)^2-k^2 = (y+k)\cdot (y+k-k) \\ \\ (x+k)^2-k^2 = y\cdot (y+k)\\ \\ x^2+2kx+k^2-k^2 = y^2+ky\\ \\ x^2+2kx=y^2+ky \qquad (1)\end{array}$$ 

A continuación aplícase o teorema de Menelao ao triángulo $ACF$ coa recta $DBE$:

$$\dfrac{AB}{BF} \cdot \dfrac{FE}{EC} \cdot \dfrac{CA}{DA}=1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{k}{y} \cdot \dfrac{k}{x} \cdot \dfrac{2k}{k} = 1 \quad \Rightarrow \quad xy=2k^2 \qquad (2)$$ 

De (1) e (2) dedúcese que

$$\begin{array}{c}x^2+2kx = \left( \dfrac{2k^2}{x} \right)^2+k\cdot \dfrac{2k^2}{x}\\ \\ x^4+2kx^3=4k^4+2k^3x\\ \\ x^3\cdot (x+2k) = 2k^3\cdot (2k+x)\\ \\ x^3=2k^3\\ \\ x=\sqrt[3]{2}\cdot k \end{array}$$ 

E, como se quería concluír:

$$CE=\sqrt[3]{2}\cdot AB$$ 

Relacionado con isto:

• Os tres problemas clásicos. 
• 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, por Heinrich Dörrie, páxinas 170-172.
• The History of Mathematics, por David Burton, páxinas 124 a 126.
  

Trisección dun ángulo con regra marcada (II)

Na última entrada publicamos unha maneira de trisecar un ángulo dado, empregando para iso unha regra marcada. Porén, dita construción ten unha desvantaxe que a fai pouco visual: a trisección non aparece no mesmo lugar que o ángulo dado, senón desprazada. Por este motivo, hoxe compartimos outra maneira de obter a trisección, agora si in situ.

Este procedemento débese a John Conway, tristemente falecido hai uns meses, un dos matemáticos de maior relevancia do século XX.

Accede á aplicación GeoGebra

O uso da regra marcada aparece no paso 6, cando se apoia a regra sobre o punto $O$ e se coloca de xeito que a distancia entre os puntos $C$ e $D$ que aparecen coincide coa distancia entre $O$ e $A$.

Temos pois que os segmentos $OA,OB,CD,BD$ son todos da mesma medida, e por tanto os triángulos $OBA,BDO,DCB$ son os tres isóscele.

Como $BDO$ é un triángulo isóscele

$$\angle BOD + \angle ODB + \angle DBO = \pi \quad \Rightarrow \quad \angle BOD + \angle BOD + \angle DBO = \pi$$

, e dividimos o ángulo $\angle DBO$ en dúas partes

$$2\cdot \angle BOD + (\angle CBO + \angle DBC) = \pi $$

, como $DCB$ é isóscele

$$2\cdot \angle BOD + \angle CBO + \angle BCD = \pi$$

pero $\angle BCD$ e $\angle ACO$ son opostos polo vértice:

$$2\cdot \angle BOD + \angle CBO + \angle ACO = \pi \qquad (1)$$

Por outra banda, no triángulo $AOC$

$$\angle COA + \angle OAC + \angle ACO = \pi$$

, e por ser $OBA$ isóscele

$$\angle COA + \angle CBO + \angle ACO = \pi \qquad (2)$$

De (1) e (2) obtense claramente que $2\cdot \angle BOD = \angle COA$, e de aí inmediatamente que, como queriamos demostrar:

$$\angle COA = \dfrac{\angle BOA}{3}$$

Relacionado con isto:

• Trisección dun ángulo con regra marcada (I). 
• Trisección aproximada dun ángulo (I).
• Trisección aproximada dun ángulo (II).
  

Trisección dun ángulo con regra marcada (I)

Xa que na anterior entrada abrimos a caixa de Pandora das construcións con regra marcada, imos compartir algunha máis. Recordemos que unha regra marcada é, simplemente, unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Con isto é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.

A de hoxe débese nin máis nin menos que ao gran Arquímedes, e é relativa a un dos tres problemas clásicos da xeometría da regra e o compás. Xa falaramos deles neste mesmo blog, e explicamos o porqué da súa imposibilidade... sempre e cando nos restrinxamos ás normas clásicas. E é que se modificamos as esixencias os problemas si son resolubles mediante outros procedementos. Con papiroflexia, por exemplo. Nesta entrada imos mostrar como trisecar un ángulo empregando unha regra marcada.

Este tipo de construcións denomínanse neusis, método que consiste en rotar a regra arredor dun punto até que a lonxitude fixa coincide co elemento desexado. Este método ten a súa importancia precisamente porque permite resolver algúns problemas xeométricos non resolubles só coas normas clásicas, máis restritivas.

Accede á aplicación GeoGebra

O uso da regra marcada aparece no paso 6, cando se apoia a regra sobre o punto $A$ e se coloca de xeito que a distancia entre os puntos $C$ e $D$ que aparecen coincide co raio da circunferencia.

É evidente que os triángulos $AOC$ e $DCO$ son isósecele, xa que teñen cada un dous lados da mesma medida que o raio da circunferencia.

$$\begin{array}{c}\angle BOA + \angle AOC + \angle COD = \pi \\ \\ \angle BOA + \left( \pi - 2\cdot \angle OCA \right) + \angle COD = \pi \\ \\ \angle BOA - 2\cdot \angle OCA + \angle COD = 0 \\ \\ \angle BOA - 4\cdot \angle COD + \angle COD = 0 \\ \\ \angle BOA - 3\cdot \angle COD = 0\\ \\ \dfrac{\angle BOA}{3} = \angle COD = \angle ODC \end{array}$$

, onde na antepenúltima liña aplicamos que $\angle OCA = 2\cdot \angle COD$, xa que $\angle DCO + \angle OCA = \pi$ e tamén $\angle ODC + \angle DCO + \angle COD=\pi$.

Relacionado con isto:

• Os tres problemas clásicos da xeometría con regra e compás.
• Construcciones con regla y compás, por Juan Sabia. 
• Acerca del problema de la trisección de un ángulo, por Juana Contreras e Claudio del Pino.
  
• A constante de tribonacci.
  

Constante de tribonacci con regra marcada

Hai pouco recibín un correo electrónico dun lector (habelos hainos) que me achegaba esta referencia, unha interesante construción exposta por Xerardo Neira.

Este blog está centrado nas construcións elaboradas coas normas clásicas da regra e o compás, mentres que esoutra construción precisa dunha regra marcada. Porén, non me puiden resistir e velaquí está.

Unha regra marcada é, simplemente, unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Con isto é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.

Na construción que achegamos nesta entrada pártese dunha circunferencia unidade (de raio 1), e obtense o segmento $AC$, ao que imos chamar $t$. O uso da regra marcada chega no paso 11 da construción, ao apoiala sobre a circunferencia como unha tanxente, de tal xeito que as súas dúas marcas queden unha sobre a recta que pasa por $A$ e $B$ e a outra sobre a tanxente que pasa por $B$. É así como aparecen os puntos $C,D,E$ tales que xacen sobre unha tanxente á circunferencia e que $DC=1$.

Accede á aplicación GeoGebra

Mediante o triángulo $AEC$ obtense:

$$\sin(\angle ACE)=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{t}$$

E mediante o triángulo $DBC$ obtense:

$$\cos(\angle BCD)=\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{1-t}{1}=1-t$$

Como $\angle ACE$ e $\angle BCD$ son o mesmo ángulo, a identidade fundamental da trigonometría leva a: 

$$\left(\dfrac{1}{t} \right)^2 + (1-t)^2=1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{t^2}+1-2t+t^2=1 \quad \Rightarrow \quad t^4-2t^3+1=0$$

O polinomio anterior pode factorizarse, e a ecuación queda $(t-1)\cdot (t^3-t^2-t-1)=0$. Esta ecuación ten dúas solucións reais, unha é $t=1$ que corresponde co caso no cal $C=B$, e a outra dada por $t^3-t^2-t-1=0$ é aproximadamente $1,839\dots$

Este último valor é coñecido polo nome de constante de tribonacci; é o límite ao que tenden as razóns de números consecutivos de tribonacci. E que son os números de tribonacci? Pois son os que constitúen a sucesión que comeza polos termos fixos 0, 0, 1 e a partir de aí constrúe o resto de termos mediante a suma dos tres precedentes.

$$0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149\dots$$

É doado decatarse de que esta é, dalgún xeito, unha xeralización dos números do Fibonacci, pois as similitudes entre ambas as sucesións son evidentes, así coma entre a constante de tribonacci e o número áureo.

Relacionado con isto:

• A geometric construction of the tribonacci constant with marked ruler and compass, por Xerardo Neira.
• A sucesión de tribonacci, na OEIS. 
• A constante de tribonacci, en WolframMathWorld.
• A sucesión de Fibonacci.
  
• O número áureo. 
• A regra e o compás na xeometría clásica.