Na última entrada publicamos unha maneira de trisecar un ángulo dado, empregando para iso unha regra marcada. Porén, dita construción ten unha desvantaxe que a fai pouco visual: a trisección non aparece no mesmo lugar que o ángulo dado, senón desprazada. Por este motivo, hoxe compartimos outra maneira de obter a trisección, agora si in situ.
Este procedemento débese a John Conway, tristemente falecido hai uns meses, un dos matemáticos de maior relevancia do século XX.
O uso da regra marcada aparece no paso 6, cando se apoia a regra sobre o punto O e se coloca de xeito que a distancia entre os puntos C e D que aparecen coincide coa distancia entre O e A.
Temos pois que os segmentos OA,OB,CD,BD son todos da mesma medida, e por tanto os triángulos OBA,BDO,DCB son os tres isóscele.
Como BDO é un triángulo isóscele
\angle BOD + \angle ODB + \angle DBO = \pi \quad \Rightarrow \quad \angle BOD + \angle BOD + \angle DBO = \pi
, e dividimos o ángulo \angle DBO en dúas partes
2\cdot \angle BOD + (\angle CBO + \angle DBC) = \pi
, como DCB é isóscele
2\cdot \angle BOD + \angle CBO + \angle BCD = \pi
pero \angle BCD e \angle ACO son opostos polo vértice:
2\cdot \angle BOD + \angle CBO + \angle ACO = \pi \qquad (1)
Por outra banda, no triángulo AOC
\angle COA + \angle OAC + \angle ACO = \pi
, e por ser OBA isóscele
\angle COA + \angle CBO + \angle ACO = \pi \qquad (2)
De (1) e (2) obtense claramente que 2\cdot \angle BOD = \angle COA, e de aí inmediatamente que, como queriamos demostrar:
\angle COA = \dfrac{\angle BOA}{3}
Relacionado con isto:
Ningún comentario:
Publicar un comentario