Na última entrada publicamos unha maneira de trisecar un ángulo dado, empregando para iso unha regra marcada. Porén, dita construción ten unha desvantaxe que a fai pouco visual: a trisección non aparece no mesmo lugar que o ángulo dado, senón desprazada. Por este motivo, hoxe compartimos outra maneira de obter a trisección, agora si in situ.
Este procedemento débese a John Conway, tristemente falecido hai uns meses, un dos matemáticos de maior relevancia do século XX.
O uso da regra marcada aparece no paso 6, cando se apoia a regra sobre o punto $O$ e se coloca de xeito que a distancia entre os puntos $C$ e $D$ que aparecen coincide coa distancia entre $O$ e $A$.
Temos pois que os segmentos $OA,OB,CD,BD$ son todos da mesma medida, e por tanto os triángulos $OBA,BDO,DCB$ son os tres isóscele.
Como $BDO$ é un triángulo isóscele
$$\angle BOD + \angle ODB + \angle DBO = \pi \quad \Rightarrow \quad \angle BOD + \angle BOD + \angle DBO = \pi$$
, e dividimos o ángulo $\angle DBO$ en dúas partes
$$2\cdot \angle BOD + (\angle CBO + \angle DBC) = \pi $$
, como $DCB$ é isóscele
$$2\cdot \angle BOD + \angle CBO + \angle BCD = \pi$$
pero $\angle BCD$ e $\angle ACO$ son opostos polo vértice:
$$2\cdot \angle BOD + \angle CBO + \angle ACO = \pi \qquad (1)$$
Por outra banda, no triángulo $AOC$
$$\angle COA + \angle OAC + \angle ACO = \pi$$
, e por ser $OBA$ isóscele
$$\angle COA + \angle CBO + \angle ACO = \pi \qquad (2)$$
De (1) e (2) obtense claramente que $2\cdot \angle BOD = \angle COA$, e de aí inmediatamente que, como queriamos demostrar:
$$\angle COA = \dfrac{\angle BOA}{3}$$
Relacionado con isto:
Ningún comentario:
Publicar un comentario