Xa que na anterior entrada abrimos a caixa de Pandora das construcións con regra marcada, imos compartir algunha máis. Recordemos que unha regra marcada é, simplemente, unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Con isto é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.
A de hoxe débese nin máis nin menos que ao gran Arquímedes, e é relativa a un dos tres problemas clásicos da xeometría da regra e o compás. Xa falaramos deles neste mesmo blog, e explicamos o porqué da súa imposibilidade... sempre e cando nos restrinxamos ás normas clásicas. E é que se modificamos as esixencias os problemas si son resolubles mediante outros procedementos. Con papiroflexia, por exemplo. Nesta entrada imos mostrar como trisecar un ángulo empregando unha regra marcada.
Este tipo de construcións denomínanse neusis,
método que consiste en rotar a regra arredor dun punto até que a
lonxitude fixa coincide co elemento desexado. Este método ten a súa
importancia precisamente porque permite resolver algúns problemas
xeométricos non resolubles só coas normas clásicas, máis restritivas.
O uso da regra marcada aparece no paso 6, cando se apoia a regra sobre o punto $A$ e se coloca de xeito que a distancia entre os puntos $C$ e $D$ que aparecen coincide co raio da circunferencia.
É evidente que os triángulos $AOC$ e $DCO$ son isósecele, xa que teñen cada un dous lados da mesma medida que o raio da circunferencia.
$$\begin{array}{c}\angle BOA + \angle AOC + \angle COD = \pi \\ \\ \angle BOA + \left( \pi - 2\cdot \angle OCA \right) + \angle COD = \pi \\ \\ \angle BOA - 2\cdot \angle OCA + \angle COD = 0 \\ \\ \angle BOA - 4\cdot \angle COD + \angle COD = 0 \\ \\ \angle BOA - 3\cdot \angle COD = 0\\ \\ \dfrac{\angle BOA}{3} = \angle COD = \angle ODC \end{array}$$
, onde na antepenúltima liña aplicamos que $\angle OCA = 2\cdot \angle COD$, xa que $\angle DCO + \angle OCA = \pi$ e tamén $\angle ODC + \angle DCO + \angle COD=\pi$.
Relacionado con isto:
- Os tres problemas clásicos da xeometría con regra e compás.
- Construcciones con regla y compás, por Juan Sabia.
- Acerca del problema de la trisección de un ángulo, por Juana Contreras e Claudio del Pino.
- A constante de tribonacci.
Ningún comentario:
Publicar un comentario