Bisecar un segmento usando só o compás (2)

Sempre estou á caza de construcións chulas para facer con GeoGebra e compartir no blog. Neste caso vou traer aquí unha que aparece no Amusements in Mathematics de Henry Ernest Dudeney. Trátase do problema 197, no cal formula unha cuestión con solución moi sinxeliña, como é achar o punto medio dun segmento, pero engadindo unha restrición. Cal? A de realizar a construción empregando tan só o compás e deixando a regra nun caixón. Non é precisamente a primeira construción de 'só compás' que aparece neste blog, baste comprobar a etiqueta correspondente.

Xa se compartiu no seu día a obtención dese punto medio de forma doada, cando buscabamos a recta perpendicular pasando polo punto medio do segmento. E de feito xa mostramos unha construción que permitía chegar ao punto medio do segmento empregando tan só o compás, baseada na inversión dun punto respecto a unha circunferencia.

A construción de hoxe dá unhas cantas voltas para chegar ao destino final, e o propio Dudeney admite que non é a solución máis sinxela. Pero pareceume interesante, e no camiño aparecen varios puntos de interese que tamén permitirían elaborar outras construcións de 'só compás'.

Accede á aplicación GeoGebra
 

Relacionado con isto:

• Amusements in Mathematics.
• Recta perpendicular bisector dun segmento dado.
• Bisecar un segmento usando só o compás.

Teorema de Mohr-Mascheroni

O italiano Lorenzo Mascheroni publicou a demostración deste teorema en 1797, aínda que xa no século XX apareceu nunha tenda un libro do dinamarqués Georg Mohr, publicado con anterioridade en 1672, que tamén resolvía este problema.

O teorema di o seguinte:

Todas as construcións xeométricas resolubles mediante as normas clásicas

da regra e o compás, poden resolverse empregando tan só o compás.

O teorema non se pode demostrar dando unha construción alternativa só con compás para todas as construcións posibles con regra e compás, pois o número destas últimas non é finito. O que se pode facer é demostrar que as seguintes cinco construcións fundamentais si son posibles só con compás:

1. Debuxar unha recta que pase por dous puntos dados.
2. Debuxar unha circunferencia con centro dado que pasa por un punto dado.
3. Atopar os puntos de intersección de dúas circunferencias.
4. Atopar os puntos de intersección dunha recta e unha circunferencia.
5. Atopar os puntos de intersección de dúas rectas.

É obvio que a construción 1 non se pode realizar sen unha regra, así que o resultado de Mascheroni en realidade no cobre esa construción fundamental. Para eludir esta limitación podemos pensar que unha recta queda determinada coñeciendo dous dos seus puntos. As construcións 2 e 3 son claramente posibles só con compás, e a resolución só con compás das construcións 3 e 4 xa apareceu neste blog.

Inspirado polo sorprendente resultado de Mascheroni, o francés Jean-Victor Poncelet plantexouse se podería ser válido un resultado parecido sobre o uso da regra, e en 1822 enunciou unha conxectura que sería publicada en 1833 polo suízo Jakob Steiner, pasando a denominarse dende entón teorema de Poncelet-Steiner:

Todas as construcións xeométricas resolubles mediante as normas clásicas

da regra e o compás poden resolverse empregando só a regra 

máis a condición de coñecer un único círculo e o seu centro.

A conclusión que podemos extraer deste teorema é que todas as construcións poden realizarse só con regra... usando unha única vez o compás. A condición extra é indispensable, pois naquelas situacións nas cales unha circuferencia está dada pero non coñecemos o seu centro, este non se pode achar só coa regra.

Relacionado con isto:

• Teorema de Napoleón. Existe un teorema que involucra triángulos que ás veces se atribúe ao famoso emperador Napoleón, pero o seu verdadeiro autor probablemente foi Mascheroni. Este, coñecido de Napoleón e sabedor da afición do emperador poas matemáticas, dedicoulle o libro 'Geometría del Compasso' de 1797, no que resolveu o teorema do que falamos nesta entrada.
• What is Mathematics?, de Richard Courant e Herbert Robbins, do cal saquei a idea para esta entrada.
• Cadrado nun círculo só coa regra é a única construción dese tipo que tratamos neste blog. Usa un círculo dado, con centro coñecido, como datos de partida.

Centro dun círculo usando só o compás (2)

Hoxe imos ver outra aplicación da inversión dun punto respecto a unha circunferencia. Trátase de, dado un círculo, averiguar cal é o seu centro cando o descoñecemos. E farémolo, ademais, empregando tan só o compás.

No seu día xa traeramos outra construción para resolver este problema, moi parecida a esta pero que non usaba explicitamente a inversión.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con esto:

• Inversión dun punto respecto a unha circunferencia.
• Centro dun círculo usando só o compás (I).
• What is Mathematics?, de Richard Courant e Herbert Robbins, de onde saquei a presente construción. 

Bisecar un segmento usando só o compás (1)

Na nosa última entrada viamos unha transformación no plano: a inversión dun punto respecto a unha circunferencia. Pois ben, nesta construción imos ver unha aplicación de dita inversión.

Imos bisecar un segmento, ou equivalentemente, achar o punto medio de dous puntos dados. E farémolo, ademais, empregando só o compás (proximamente neste mesmo blog chegará unha entrada dedicada en exclusiva a este aspecto).

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Inversión dun punto respecto a unha circunferencia.
• What is Mathematics?, de Richard Courant e Herbert Robbins, de onde saquei a presente construción.

Inversión dun punto respecto dunha circunferencia

Unha nova construción chega a este blog mentres leo What is Mathematics, de Richard Courant e Herbert Robbins. Trátase da inversión dun punto respecto de unha circunferencia, que é unha transformación bixectiva e continua.

Esta inversión intercambia o interior e o exterior da circunferencia, e os seus únicos puntos invariantes son os da circunferencia. Ademais, non define ningunha imaxe para o centro O da circunferencia; se o punto P se achega a O, entón P' alónxase máis e máis no plano. Por isto último soe dicirse que o punto O corresponde, baixo a inversión, co punto do infinito.

Na construción con regra e compás atopamos dous casos diferentes, que están explicados dentro da construción GeoGebra. Un é directo, no outro atopamos un paso intermedio cun punto auxiliar.

Accede á aplicación GeoGebra

Entre as súas propiedades máis importantes atopamos as seguintes:

• Unha recta que pasa polo centro O é globalmente invariante.
• Transforma rectas en rectas.
• Transforma circunferencias en circunferencias.
• Conserva a medida dos ángulos, aínda que cambia o seu sentido.

E cabe notar, tamén, que esta construción é das que se poden llevar a cabo usando unicamente o compás; a regra é innecesaria.

Bisectores dentro dun rectángulo

Esta construción permite dividir o rectángulo de partida en catro rectángulos iguais tales que os seus lados miden a metade que no orixinal.

Accede á aplicación GeoGebra

Pentágono regular nun círculo só con compás

Esta construción débese a Michel Bataille, e é un novo exemplo relativo ao teorema de Mohr-Mascheroni, que asegura que toda construción con regra e compás pode facerse tamén empregando tan só o compás.

En 1833, ademais, Jakob Steiner demostrou tamén que toda construción con regra e compás pode facerse empregando tan só a regra, sempre e cando se parta dun círculo inicial dado.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Pentágono regular nun círculo.

Centro dun círculo usando só o compás (I)

Seguindo coas construcións derivadas do teorema de Mohr-Mascheroni, esta é a construción de Mascheroni para achar o centro dun círculo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Centro dun círculo.

Intersección de dúas rectas só con compás

Seguindo indicado polo teorema de Mohr-Mascheroni, hoxe presentamos unha construción que permite achar a intersección de dúas rectas dadas empregando tan só o compás; poderás ver a cantidade de voltas que damos para chegar a ela debido a esa restrición de non usar a regra.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con esto:

• Intersección de círculo y recta sólo con compás.

Intersección de círculo e recta só con compás

Georg Mohr demostrou en 1672 que todas as construcións con regra e compás poden facerse, de feito, empregando tan só o compás. En 1797 Lorenzo Mascheroni demostrouno de xeito independente, pois a proba de Mohr languideceu na escuridade até o 1928, e na actualidade a este resultado chamámolo teorema de Mohr-Mascheroni. Nesta entrada traemos un novo exemplo de tales construcións.

Accede á aplicación GeoGebra

Cadrado nun círculo usando só o compás

Volvemos con outra construción na que empregamos tan só o compás. É a solución que deu Fitch Cheney ao problema de Napoleón.

Accede á aplicación GeoGebra

Triángulo equilátero sobre un lado dado (II)

Foi a construción coa que estreamos este blog hai xa uns meses. Imos realizar hoxe a mesma construción pero co condicionante de facelo empregando tan só o compás, ao igual que o feito na entrada anterior.

Esta construción foi observada por Dan Pedoe nun boceto dun estudante anónimo.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Triángulo equilátero sobre un lado dado.

Triángulo equilátero nun círculo (II)

Entre as construcións con regra e compás teñen especial interese aquelas que, de feito, se poden realizar tan só co compás (salvo quizais, por suposto, a figura final buscada). Hoxe traemos unha destas, que xa construiramos no seu día pero facendo uso tamén da regra.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Triángulo equilátero nun círculo (I).

Recta perpendicular por un punto nunha recta (III)

Seguindo co trazado de rectas perpendiculares, imos ver unha nova maneira de construíla a partir dun punto. O chamativo deste método é que non utiliza a regra senón tan só o compás (salvo no trazado final da perpendicular buscada, claro).

Isto en realidade non é tan extraño, nin sequera novidoso, pois xa sucedía nunha entrada anterior. Porén, esta nova construción difire desa outra no feito de que non só utiliza unicamente o compás, senón que ademais todas as circunferencias involucradas no proceso teñen o mesmo raio.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Recta perpendicular por un punto nunha recta (I).
• Recta perpendicular por un punto nunha recta (II).

Recta perpendicular por un punto nunha recta (II)

Hoxe construiremos a recta perpendicular que pasa por un punto calquera dunha recta dada. É interesante notar que o punto O é un punto auxiliar do que non depende a construción. Se fixamos a recta e o punto dado P e facemos variar O, a perpendicular por P segue sendo a mesma; o único que varían neste caso son os puntos de intersección A e B.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Recta perpendicular por un punto en una recta (I).

Recta perpendicular por un punto nunha recta (I)

Nesta ocasión imos debuxar a recta perpendicular que pasa por un punto calquera dunha recta dada.

Accede á aplicación GeoGebra

É interesante tamén o feito de que as circunferencias que trazamos nos pasos 4 e 5 non é preciso debuxalas por completo, só necesitamos que sexan do mesmo raio e secantes. Sirva como exemplo a seguinte imaxe: