Polígono regular de 65537 lados

Tal e como contabamos hai poco, non todos os polígonos regulares son construíbles con regra e compás. Entre os que si o son temos o polígono regular de 65537 lados, número que, recordemos, é o primo de Fermat máis grande coñecido.

A diferenza do habitual, non imos traer aquí a construción deste polígono dada a súa extensión e dificultade, e ímonos limitar a contextualizalo.

Obviamente, un polígono cun número tan enorme de lados non somos capaces de distinguilo dun círculo de xeito visual. De feito, a diferenza do seu perímetro coa lonxitude da circunferencia circunscrita sitúase en torno ás milmillonésimas. Para este cálculo, podemos usar a seguinte fórmula para o perímetro dun polígono regular de n lados dado o seu raio:

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 

Así, sen máis que tomar como raio do polígono a unidade 1 (e será o mesmo raio para a circunferencia circunscrita), a diferenza entre ambos os perímetros é un número tal que a primeira cifra significativa é a milmillonésima.

A primeira construción explícita debémoslla a Johann Gustav Hermes, que a publica no ano 1894 en Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (traducido, algo así coma 'Noticias da Sociedade de Ciencias de Göttingen'). Podemos consultala aquí, entre as páxinas 170 e 186, no capítulo "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile" (traducido, 'sobre a división do círculo en 65537 partes iguais'). No orixinal alemán, claro.

Outro método, proposto por Duane DeTemple, involucra o uso de como moito 1332 círculos de Carlyle (certo tipo de círculos asociados a unha ecuación cuadrática particular). A súa demostración podemos atopala no artigo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions" (traducido, 'círculos de Carlyle e simplicidade de Lemoine en construcións de polígonos'), páxina 107, publicado no ano 1991 na revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcións que escapan notablamente dos obxectivos deste humilde blog.

Relacionado con isto:

• Polígonos regulares construíbles con regra e compás.
• Polígono regular de 257 lados.

Polígono de 257 lados

Tal e coma contabamos hai pouco, non todos os polígonos regulares son construíbles con regra e compás. Entre os que si o son temos o polígono regular de 257 lados, número que, recordemos, é o cuarto primo de Fermat coñecido.

A diferenza do habitual, non imos traer aquí a construción deste polígono dada a súa extensión e dificultade, e ímonos limitar a contextualizalo.  

Obviamente, un polígono cun número tan grande de lados non somos capaces de distinguilo dun círculo de xeito visual. De feito, a diferenza do seu perímetro coa lonxitude da circunferencia circunscrita sitúa se en torno ás dezmilésimas. Para este cálculo, podemos usar a seguinte fórmula para o perímetro dun polígono regular de n lados dado o seu raio: 

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 
 

Así, sen máis que tomar como raio do polígono a unidade 1 (e será o mesmo raio para a circunferencia circunscrita), a diferenza entre ambos os perímetros é un número tal que a primeira cifra significativa é a dezmilésima.

A primeira construción explícita debémoslla a Magnus Georg Paucker, que a publica no ano 1822 en Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (traducido, algo así coma 'Sesións anuais da Sociedade de Literatura e Arte de Kurland'). Podemos consultala aquí, páxina 188, no apartado "Dasregelmäßige Zweyhundersiebenundfunfzig-Eck im Kreise" (traducido, 'sobre a división do círculo en 65537 partes iguais'). No orixinal alemán, claro.

 

Pouco despois, en 1832, outra construción era publicada por Friedrich Julius Richelot en Journal für die reine und angewandte Mathematik (traducido, algo así coma 'Revista de Matemáticas Puras e Aplicadas'). Podemos consultala aquí, a partir da páxina 146, no capítulo "De resolutione algebraica aequationes $x^{257}=1$" (traducido, 'sobre a resolución da ecuación alxébrica $x^{257}=1$'). O orixinal está, neste caso, en latín.

Outro método, proposto por Duane DeTemple, involucra o uso de 150 círculos. A súa demostración podemos atopala no arttigo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", páxinas 104 a 107, publicado no ano 1991 na revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcións que escapan notablamente dos obxectivos deste humilde blog.

Relacionado con isto:

• Polígonos regulares construíbles con regra e compás.
• Polígono regular de 65537 lados. 

Polígonos regulares construíbles con regra e compás

Xa ía sendo hora de dedicar unha entrada a explicar que polígonos regulares son construíbles coas normas clásicas da regra e o compás. Neste blog vimos xa como construír os seguintes polígonos regulares, partindo dun lado dado (ou dito doutro xeito, partindo de dous puntos dados):

• Un triángulo equilátero.
• Un cadrado.
• Un pentágono regular.
• Un hexágono regular.
• Un octógono regular.
• Un decágono regular.
• Un dodecágono regular.

E os seguintes, inscritos nun círculo dado:

• Un hexadecágono regular. 
• Un heptadecágono regular.

 

Pero, que sucede con outros dos que non mostramos construcións? Poderase construír un polígono calquera? Pois ben, a resposta é que hai polígonos regulares que NON se poden construír coas normas clásicas da regra e o compás. Deles, o heptágono regular é o que ten menor número de lados. E o eneágono ou o endecágono tampouco o son. De feito, existe un resultado que nos permite determinar se un polígono regular é ou non é construíble:

Un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas da regra e o
compás se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k $$

, sendo $r>0$ e os factores $p_i$ primos de Fermat distintos entre si.

A día de hoxe, os únicos primos de Fermat coñecidos son 3, 5, 17, 257 e 65537. Recordemos que un primo de Fermat é un número primo da forma $ { 2 }^{ { 2 }^{ n } }+1 $. 

Así, podemos mostrar por que o heptágono regular e o eneágono regular non son construíbles, pero os demais polígonos regulares até 10 lados si o son:

$$ 3=2^{2^0}+1 \hspace{1.5cm} 4=2^2 \hspace{1.5cm} 5=2^{2^1}+1 \hspace{1.5cm} 6=2\cdot \left(2^{2^0}+1\right) $$

$$ 7\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 8=2^3 \hspace{1cm} 9=3^2\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 10=2\cdot \left(2^{2^1}+1 \right) $$

Este resultado debémosllo ao traballo de Gauss e de Pierre Wantzel. Gauss publicou a demostración da suficiencia da proposición no libro Disquisitiones arithmeticae, escrito en 1798. Podes vela aquí no orixinal en latín: é o artigo 365 que se atopa na páxina 662. Ou podes consultar aquí unha traducción ao castelán: é o artigo 365 que se atopa na páxina 470. Gauss sinalou tamén a necesidade da proposición, pero non a demostrou. Quen finalmente a probou foi Wantzel no 1837, nun artigo no que tamén demostrou a imposibilidade de dous dos problemas clásicos: a duplicación do cubo e a trisección do ángulo.

Porén, o que Gauss proporcionou é a demostración de que o heptadecágono é construíble, pero non propuxo unha construción propiamente dita. A que presentamos neste blog hai un tempo foi dada por Herbert W. Richmond en 1893. E, de feito, foi Johannes Erchinger quen propuxo a primeira construción, en 1825. E é que:

$$ 17=2^{2^2}+1 $$

 

O que Gauss fixo foi mostrar que as solucións de $x^p-1$, con $p$ primo, son expresións racionais de soucións de ecuacións tales que os seus graos son os divisores primos de $p-1$, e tales que os seus coeficientes son expresións racionais das solucións das ecuacións precedentes, que son resolubles por radicais. Cando $p$ é un primo da forma $2^{2^n}+1$, todas as ecuacións así consideradas son de grao 2, e en consecuencia as solucións de $x^p-1$ poden expresarse iterando operacións aritméticas e raíces cadradas. Dese xeito, son construíbles coa regra e o compás.

Para rematar, engadir que no caso de non ser construíble un polígono regular, podemos intentar trazar algunha aproximación, e por exemplo neste mesmo blog xa tratamos aproximacións bastante boas para o heptágono, o eneágono ou o endecágono regulares.

Relacionado con isto:

• A regra e o compás na xeometría clásica.
• Construcciones con regla y compás (III): Los polígonos regulares, do blog Gaussianos. 
• Sucesión formada polos números de lados de polígonos construíbles con regra e compás. 
• Crónicas matemáticas, de Antonio J. Durán.
  

Punto de Fermat

O punto de Fermat dun triángulo, tamén chamado punto de Torricelli, é un punto tal que a distancia total dende os tres vértices do triángulo ao punto é a mínima posible. O seu nome débese a que o problema foi achegado orixinalmente por Pierre de Fermat nunha carta privada para Evangelista Torricelli, que o resolveu.

Como podes comprobar, se os ángulos do triángulo son menores de 120º, o punto é interior ao triángulo. Se algún dos ángulos é maior, con esta construción obtense un punto exterior ao triángulo, pero neste caso o punto que verificaría a condición de distancia mínima sería o propio vértice do ángulo maior de 120º.

Accede á aplicación GeoGebra