Elementos da elipse

No último número da revista SUMA, o n.º 95, hai un artigo de Agustín Carrillo e Manuel de León dedicado ás cónicas e aos seus elementos. E foi ver unha construción con regra e compás e, claro, non poder resistirme a facela co GeoGebra e compartila no blog.

Pouco a pouco vanse obtendo os elementos da elipse, construída inicialmente coa ferramenta 'Cónica pasando por cinco puntos' que ofrece GeoGebra. 

No paso 28 obtense o centro da elipse. Xa Apolonio demostrara que os puntos medios de cordas paralelas determinan un diámetro na elipse ou na hipérbola, e o punto medio deste é por tanto o centro.

No paso 36 temos un dos eixes da elipse, e no paso 42 o outro. Ao final de todo chégase aos focos tras aplicar a definición de elipse: o lugar xeométrico dos puntos do plano tales que a suma das distancias a dous puntos fixos (os focos) é constante.

Accede á aplicación GeoGebra

Obviamente, se moves os cinco puntos iniciais podes cambiar o tipo de cónica; este applet non está adaptado para eses casos. Ademais, ten coidado como sitúas os diferentes puntos, pois nalgúns casos pode non funcionar ben.

Relacionado con isto:

• Centro dunha cónica. 
• Cónica determinada por cinco puntos.
  
• Cónicas, por Agustín Carrillo e Manuel de León, ed. Los Libros de la Catarata.
• Apolonio e as cónicas.
  

Método de Rytz para unha elipse

A de hoxe é outra entrada dedicada ás cónicas. Presentamos o método de Rytz, un procedemento básico da xeometría descritiva que permite atopar os eixos e os vértices dunha elipse.

Os datos coñecidos de partida para poder aplicar a construción son o centro C e dous puntos P, Q da elipse situados sobre diámetros conxugados. Porén, a elipse inicial está debuxada con GeoGebra dados un punto da elipse e os seus focos, para poder cambiar a elipse usada de xeito independente á construción.

Os diámetros conxugados dunha elipse son cada par de diámetros da elipse que cumpre que un deles pasa polo centro de todas as cordas paralelas ao outro. GeoGebra xa ten incorporada unha ferramenta para, a partir dun diámetro dado, calcular o seu conxugado.

Fonte: recorte desta figura de Marinero Vakulinchuk publicada en Wikimedia Commons.

Ao longo da historia apareceron distintas solucións ao problema. Unha primeira construción que debémoslla a Pappus alá polo s. IV. Xa no s. XVIII, Frézier e Euler simplificaron o procedemento baseándose na rotación de 90º dun dos diámetros de partida. Por último, dende o 1845 é coñecido o procedemento que presentamos nesta entrada, que se atribúe ao matemático suízo David Rytz von Brugg.

Accede á construción GeoGebra

Referencia:

• Alexander Ostermann e Gerhard Wanner (2012). Geometry by its History. Springer, Berlin, pp. 68-69.

Elipse dados os seus semieixos

Entre as (moitas) débedas pendentes deste blog está a de prestar atención ás cónicas. Así, a construción da elipse o que faremos é obter un punto da mesma. De igual xeito poderiamos chegar a tantos puntos como queiramos, formando parte todos eles da elipse. Aproveitando as virtudes do GeoGebra, isto último podemos facelo de forma dinámica, e veremos aparecer a elipse mentres imos debuxando un bo feixe dos seus puntos.

E sen máis procedemos a compartir a construción, que xa contén os comentarios explicativos necesarios.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Páxina persoal de Ángel Montesdeoca,  na que podemos atopar moita información relacionada coa construción de cónicas.

Puntos nunha elipse

Corta un cono dun lado ao otro e a sección transversal plana será un círculo ou unha elipse, segundo o ángulo elixido ao cortar. Hoxe presentamos unha construción que permite atopar puntos sobre unha elipse de calquera proporción.

Accede á aplicación Geogebra