Perpendicular ao diámetro por un punto da circunferencia

Coñecín esta historia grazas a Presh Tawalkar no blog Mind Your Decisions, e tamén a recolleron en The Guardian ou na páxina web do próximo ICM.

Mikhail Mishutin é o primeiro ministro de Rusia dende xaneiro do 2020. Hai unhas semanas, en setembro deste 2021, durante a típica visita dun político a unha escola o primeiro día do curso, propuxo aos escolares este problema: constrúe unha perpendicular dende o punto C da circunferencia sobre o diámetro AB, usando tan só a regra.

Mishutin é enxeñeiro de sistemas, e cre no valor do coñecemento científico. Entre os propósitos deste blog non está o de comentar esta frase que dirixiu ese día ao estudantado presente: <<por que tedes que facer na escola proxectos de negocio? Coñecementos fundamentais é o que se precisa>>, senón o de ofrecer a miña propia construción da solución ao problema.

 Accede á aplicación GeoGebra

 Relacionado con isto:

• Teorema de Mohr-Mascheroni.

"Problema para xudeus" (5): dividir un segmento en partes iguais usando só a regra

Hai pouco achegabamos as dificultades que enfrontaban os estudantes xudeus cando querían acceder á Facultade de Matemáticas da Universidade de Moscú, aló polos anos 70.

Tanya Khovanova e Alexey Radul compartiron unha listaxe de problemas que se propoñían na proba oral ao estudantes xudeus. Todos tiñan un aquel que os facía especialmente difíciles, e algúns deles eran construcións con regra e compás, coma o problema 16 desa listaxe, que é o que traemos hoxe ao blog:

Dados dous segmentos paralelos, divide un deles

en seis partes iguais empregando só a regra.

Aínda que o problema da listaxe pide facer a división en seis partes, o método vale para calquera outra cantidade, e a construción está feita para calquera até oito. Trátase, ademais, dunha construción na cal só empregamos a regra, deixando descansar o compás; xa temos falado no blog sobre este tipo de construcións. No seu día xa trouxeramos ao blog esta mesma construción pero permitindo o uso do compás.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Problema para xudeus (1).
• Problema para xudeus (2).
• Problema para xudeus (3).
• Problema para xudeus (4).
  
• Alexandre Shen explicando a historia desta discriminación.
• Listaxe de "problemas para xudeus", por Tanya Khovanova e Alexey Radul.
• Teorema de Mohr-Mascheroni.
• Dividir un segmento en partes iguais, pero usando tamén o compás.
  

"Problema para xudeus" (4)

Antes de comezar coa entrada propiamente dita, unha pequena efeméride: coa de hoxe son xa 200 as construcións compartidas neste blog dende que comezamos en novembro do 2013. Con altibaixos no ritmo de publicación, pero 200 en 7 anos non está nada mal.

Agora si, imos co tema de hoxe. Hai pouco achegabamos as dificultades que enfrontaban os estudantes xudeus cando querían acceder á Facultade de Matemáticas da Universidade de Moscú, aló polos anos 70.

Tanya Khovanova e Alexey Radul compartiron unha listaxe de problemas que se propoñían na proba oral ao estudantes xudeus. Todos tiñan un aquel que os facía especialmente difíciles, e algúns deles eran construcións con regra e compás, coma o problema 7 desa listaxe, que é o que traemos hoxe ao blog:

Sexa un círculo no plano cun diámetro coñecido. Dado un punto $M$

debuxa a perpendicular ao diámetro que pasa por $M$,

empregando tan só a regra.

Nótese que o método funciona se o punto $M$ non xace nin sobre a circunferencia nin sobre o diámetro. Trátase, ademais, dunha construción na cal só empregamos a regra, deixando descansar o compás; xa temos falado no blog sobre este tipo de construcións.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Problema para xudeus (1).
• Problema para xudeus (2).
• Problema para xudeus (3).
  
• Alexandre Shen explicando a historia desta discriminación.
• Listaxe de "problemas para xudeus", por Tanya Khovanova e Alexey Radul.
• Teorema de Mohr-Mascheroni.
  

Cónica determinada por cinco puntos

Sigo debullando na extraordinaria páxina web de Ángel Montesdeoca, que contén máis de cen apartados dedicados á construción de cónicas. Sen dúbida, ben merece que lle botedes unha ollada... iso si, aviso que corredes o risco de acabar pasando alí unha manchea de horas.

Na xeometría euclídea cinco puntos diferentes determinan (de xeito único, se entende) unha cónica. Partamos pois de cinco puntos calquera no plano e debuxemos esa cónica, para o cal en realidade o que faremos é achar un sexto punto $P$ da cónica que, como pode ser calquera, iremos desprazando para trazar a cónica buscada.

A construción ten a súa base no teorema de Pascal:

Se un hexágono está inscrito nunha cónica, os tres puntos nos cales se intersecan

os lados opostos están sobre unha recta que chamamos a recta de Pascal.

O hexágono ao que fai mención o teorema é $ P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P $ formado polos cinco puntos iniciais máis un sexto punto $ P $. E os puntos $L,M,N$ (interseccións de cada dous lados opostos do hexágono) xacen os tres sobre a chamada recta de Pascal.

Para trazar finalmente a cónica co applet, hai que desprazar o punto auxiliar $X$ que fai mover a recta $r$. E un último comentario: esta construción pode realizarse empregando tan só a regra. Podemos novamente facer descansar ao compás.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• A páxina web na que Ángel Montesdeoca comparte as súas construcións de cónicas.
• Centro dunha cónica.

Recta tanxente a unha cónica por un punto exterior

Hoxe é o día internacional das matemáticas, e dende este blog quero sumarme á celebración e ofrecer unha pequena aportación no eido das construcións con regra e compás.

Hai pouco compartín no blog a construción da recta tanxente por un punto dunha cónica. Mentres lle daba voltas ao asunto ocorréuseme a mesma cuestión, pero sendo o punto exterior á cónica. Ao pouco, batín con ela aquí, na páxina web persoal de Ricardo Barroso. Ese documento que comparte Barroso é un enfoque práctico para as construcións con regra e compás no caso de termos tan só os cinco puntos que definen a cónica, pero non a cónica en si. Porén, a construción que aquí achegamos si que a considera coñecida.

Ao igual que no caso da tanxente por un punto da cónica, unha curiosidade desta construción é que de feito se pode realizar empregando tan só a regra. Podemos novamente facer descansar ao compás.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Recta tanxente por un punto dunha cónica.

Recta tanxente por un punto dunha cónica

Enredando con outra construción relacionada con cónicas, nun dos pasos era necesario trazar a recta tanxente que pasa por un punto da cónica. Obviamente, se coñecemos os focos da cónica (e a directriz, no caso da parábola) é doado obter esa tanxente como a bisectriz do ángulo exterior que forman os radios vectores no punto (no caso da parábola usamos tamén a perpendicular á directriz).

Porén, cinco puntos determinan unha cónica (moi chulo este applet de Ignacio Larrosa). E nese caso a obtención de dita tanxente non é tan obvia. Navegando pola rede atopei unha fermosa explicación de Paul Kunkel que se basea no teorema de Pascal.

Este teorema asegura que se un hexágono arbitrario $ABCDEF$ está inscrito nunha cónica, e se estenden os pares de lados opostos ata cortarse, os tres puntos $J, K, L$ nos que se intersecan están aliñados, e dita recta é coñecida como a recta de Pascal.

Se achegamos o punto $F$ cara o punto $A$, a recta $AF$ achégase á recta tanxente que pasa por $A$. Deberiamos construír entón esa recta $AF$ no caso no cal $A$ e $F$ son coincidentes, pero resulta que dita líña $AF$ non é necesaria para construír o punto $L$, que é a intersección de $CD$ e a recta de Pascal $JK$. E así podemos trazar a tanxente buscada como a recta $AL$.

Unha curiosidade desta entrada é que se trata, de feito, dunha construción que se pode realizar empregando tan só a regra. Podemos facer descansar ao compás.

E estade atentos á próxima entrada, pois nela faremos un uso non explícito da construcción do día de hoxe.

Nota: por comodidade, no applet úsanse como puntos $A,B,C,D,E$ os cinco puntos que determinan a cónica.

 

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Whistler Alley, a páxina web de Paul Kunkel de onde obtiven esta construción.

Teorema de Mohr-Mascheroni

O italiano Lorenzo Mascheroni publicou a demostración deste teorema en 1797, aínda que xa no século XX apareceu nunha tenda un libro do dinamarqués Georg Mohr, publicado con anterioridade en 1672, que tamén resolvía este problema.

O teorema di o seguinte:

Todas as construcións xeométricas resolubles mediante as normas clásicas

da regra e o compás, poden resolverse empregando tan só o compás.

O teorema non se pode demostrar dando unha construción alternativa só con compás para todas as construcións posibles con regra e compás, pois o número destas últimas non é finito. O que se pode facer é demostrar que as seguintes cinco construcións fundamentais si son posibles só con compás:

1. Debuxar unha recta que pase por dous puntos dados.
2. Debuxar unha circunferencia con centro dado que pasa por un punto dado.
3. Atopar os puntos de intersección de dúas circunferencias.
4. Atopar os puntos de intersección dunha recta e unha circunferencia.
5. Atopar os puntos de intersección de dúas rectas.

É obvio que a construción 1 non se pode realizar sen unha regra, así que o resultado de Mascheroni en realidade no cobre esa construción fundamental. Para eludir esta limitación podemos pensar que unha recta queda determinada coñeciendo dous dos seus puntos. As construcións 2 e 3 son claramente posibles só con compás, e a resolución só con compás das construcións 3 e 4 xa apareceu neste blog.

Inspirado polo sorprendente resultado de Mascheroni, o francés Jean-Victor Poncelet plantexouse se podería ser válido un resultado parecido sobre o uso da regra, e en 1822 enunciou unha conxectura que sería publicada en 1833 polo suízo Jakob Steiner, pasando a denominarse dende entón teorema de Poncelet-Steiner:

Todas as construcións xeométricas resolubles mediante as normas clásicas

da regra e o compás poden resolverse empregando só a regra 

máis a condición de coñecer un único círculo e o seu centro.

A conclusión que podemos extraer deste teorema é que todas as construcións poden realizarse só con regra... usando unha única vez o compás. A condición extra é indispensable, pois naquelas situacións nas cales unha circuferencia está dada pero non coñecemos o seu centro, este non se pode achar só coa regra.

Relacionado con isto:

• Teorema de Napoleón. Existe un teorema que involucra triángulos que ás veces se atribúe ao famoso emperador Napoleón, pero o seu verdadeiro autor probablemente foi Mascheroni. Este, coñecido de Napoleón e sabedor da afición do emperador poas matemáticas, dedicoulle o libro 'Geometría del Compasso' de 1797, no que resolveu o teorema do que falamos nesta entrada.
• What is Mathematics?, de Richard Courant e Herbert Robbins, do cal saquei a idea para esta entrada.
• Cadrado nun círculo só coa regra é a única construción dese tipo que tratamos neste blog. Usa un círculo dado, con centro coñecido, como datos de partida.

Cadrado nun círculo usando só a regra

Como xa mencionamos previamente no apartado dedicado ao teorema de Mohr-Mascheroni, no ano 1833 Jakob Steiner demostrou que todas as construcións con regra e compás poden completarse usando tan só a regra, sempre e cando se dé un círculo inicial.

Accede á aplicación GeoGebra

Relacionado con isto:

• Cadrado nun círculo usando só o compás.