A entrada de hoxe tomeina do blog Matemáticas Educativas. Vin alí unha construción que me gustou, e simplemente dediqueime a reconstruíla á miña maneira, así que para el a miña gratitude e todo o recoñecemento.
Este problema enmárcase dentro dos wasan, unhas matemáticas xaponesas que se desenvolveron na illa en anos con nulas influencias do exterior. Nelas podemos atopar os coñecidos Sangaku, problemas xeométricos escritos sobre táboas, das que a construción desta entrada é un bo exemplo.
O problema é o seguinte: sexan dúas circunferencias de igual raio, de tal xeito que o centro de cada unha pertence á outra. Constrúe unha circunferencia que sexa tanxente á recta $AB$, tanxente interior a unha das rectas e tanxente exterior á outra.
Sexan $AB=a$, $AE=x$, $EG=r$, sendo este último o raio da circunferencia buscada. Pode aplicarse o teorema de Pitágoras no triángulo rectángulo $BEG$, o cal nos asegura:
$$(a+r)^2=r^2+(a+x)^2$$
Procedendo agora co mesmo teorema no triángulo rectángulo $AEG$, tense:
$$(a-r)^2=r^2+x^2$$
Desenvolvendo as parénteses:
$$ a^2+2ar+r^2 = r^2+a^2+2ax+x^2 \quad \Rightarrow \quad 2ar=2ax+x^2 $$
$$ a^2-2ar+r^2 = r^2+x^2 \quad \Rightarrow \quad a^2-2ar=x^2 $$
Restando ambas as expresións, obtense que $4ar-a^2 = 2ax$, e dividindo entre $2a$ e reordenando chégase a que $x+\dfrac{a}{2}=2r$. Isto significa que o lado do cadrado $CDEF$ vén ser o diámetro da circunferencia buscada.
Relacionado con isto:
- Wasan, las matemáticas japonesas del aislamiento, de Gerardo Tanamachi Castro.
- Problemas en templos del oriente: los Sangaku, de Sergio Ricardo García Perilla e Deisy Johana Naranjo González.
