Polígonos regulares construíbles con regra marcada

Neste mesmo blog xa falamos no seu día de cales son os polígonos regulares construíbles coas normas clásicas da regra e o compás. Recordemos o resultado ao respecto, que debemos a Gauss e a Pierre Wantzel:

 

Un polígono regular de n lados é construíble coas normas clásicas da regra e o
compás se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^r \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k$$

, sendo r un enteiro non negativo e os factores $p_i$ primos de Fermat distintos entre si.

 

A día de hoxe, os únicos primos de Fermat coñecidos son 3, 5, 17, 257 e 65537. E recordemos que un primo de Fermat é un número primo da forma ${2}^{{2}^{n}}+1$. Son construíbles, pois, os polígonos regulares de 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17... lados.

Ultimamente dedicamos varias entradas a construcións realizadas cunha regra marcada, que é simplemente unha regra con dúas marcas que indican a medida dunha unidade. Dese xeito é posible trasladar dita medida a calquera lugar, e así obtéñense elementos e construcións que doutro xeito non son posibles.

 

Resulta natural preguntarse que sucede con esta nova condición. Son todos os polígonos regulares construíbles se permitimos o uso da regra marcada? Acudimos ao teorema de Pierpont, que di:

 

Un polígono regular de n lados é construíble coa regra marcada se e só se n pode descompoñerse en factores primos da forma:

$$n=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_k$$

, sendo a, b enteiros non negativos e os factores $p_i$ primos de Pierpont distintos entre si.

 

As similitudes co resultado de Gauss-Wantzel e cos primos de Fermat son claras, e os primos de Pierpont son da forma $2^k\cdot 3^l+1$, constituíndo a sucesión 2, 3, 5, 7, 13, 17...

En consecuencia, polígonos regulares que non son construíbles coas normas clásicas da regra e o compás si o son coa regra marcada (algún xa pasou por este blog, de feito), coma os que teñen 7, 9, 13, 14, 18, 19... lados.

 

Isto deixa o endecágono, de 11 lados, como o polígono regular con menos lados que non aparece nin nunha listaxe nin na outra. Non é nin múltiplo de 2, nin de 3, nin un primo de Pierpont, e por tanto non sería construíble coa regra marcada.

Porén, no ano 2014 Elliot Benjamin e Chip Snyder demostraron a existencia dunha construción para o endecágono empregando a regra marcada e o compás. Segundo entendo, a chave do asunto reside en que o resultado de Pierpont asume que a regra marcada permite obter puntos como intersección de dúas rectas. Por outra banda, nas normas clásicas da regra e o compás permítese a intersección entre dúas rectas, unha recta e unha circunferencia ou ben dúas circunferencias, así que Benjamin e Snyder para a súa demostración optaron por permitir os casos de dúas rectas e mais dunha recta e unha circunferencia, usando para iso o termo regra marcada restrinxida. A diferenza está, pois, nas hipóteses de partida.

Relacionado con isto:

• On an undemostrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticae, por James Pierpont.
• Geometric constructions, por George E. Martin. 
• Angle trisection, the heptagon and the triskaidecagon, por Andrew M. Gleason. 
• On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass, por Elliot Benjamin e Chip Snyder.
  
• Polígonos regulares construíbles con regra e compás. 
• Heptágono regular con regra marcada (I). 
• Heptágono regular con regra marcada (II). 
• Eneágono regular con regra marcada.