A entrada de hoxe tomeina do blog Matemáticas Educativas. Vin alí unha construción que me gustou, e simplemente dediqueime a reconstruíla á miña maneira, así que para el a miña gratitude e todo o recoñecemento.
Este problema enmárcase dentro dos wasan, unhas matemáticas xaponesas que se desenvolveron na illa en anos con nulas influencias do exterior. Nelas podemos atopar os coñecidos Sangaku, problemas xeométricos escritos sobre táboas, das que a construción desta entrada é un bo exemplo.
O problema é o seguinte: sexan dúas circunferencias de igual raio, de tal xeito que o centro de cada unha pertence á outra. Constrúe unha circunferencia que sexa tanxente á recta AB, tanxente interior a unha das rectas e tanxente exterior á outra.
Sexan AB=a, AE=x, EG=r, sendo este último o raio da circunferencia buscada. Pode aplicarse o teorema de Pitágoras no triángulo rectángulo BEG, o cal nos asegura:
(a+r)^2=r^2+(a+x)^2
Procedendo agora co mesmo teorema no triángulo rectángulo AEG, tense:
(a-r)^2=r^2+x^2
Desenvolvendo as parénteses:
a^2+2ar+r^2 = r^2+a^2+2ax+x^2 \quad \Rightarrow \quad 2ar=2ax+x^2
a^2-2ar+r^2 = r^2+x^2 \quad \Rightarrow \quad a^2-2ar=x^2
Restando ambas as expresións, obtense que 4ar-a^2 = 2ax, e dividindo entre 2a e reordenando chégase a que x+\dfrac{a}{2}=2r. Isto significa que o lado do cadrado CDEF vén ser o diámetro da circunferencia buscada.
Accede á aplicación GeoGebra
Relacionado con isto: